Cho tam giác ABC. Gọi M; N; P lần lượt là trung điểm BC; AC; AB. Xác định các vector sau đây

Để giải bài toán liên quan đến các vector trong tam giác ABC với các trung điểm M, N, P, ta cần mô tả các điểm và vector một cách rõ ràng.

Giả sử:

- A, B, C là các điểm trong không gian với tọa độ lần lượt là \( \vec{A} \), \( \vec{B} \), \( \vec{C} \).
- M là trung điểm của BC, do đó:
\[
\vec{M} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2}
\]
- N là trung điểm của AC, do đó:
\[
\vec{N} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}
\]
- P là trung điểm của AB, do đó:
\[
\vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2}
\]

### a) Tính toán vector \( \vec{PB} + \vec{MC} + \vec{NA} \)

Ta biết rằng:
\[
\vec{PB} = \vec{B} - \vec{P} = \vec{B} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2}
\]
\[
\vec{MC} = \vec{C} - \vec{M} = \vec{C} - \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2}
\]
\[
\vec{NA} = \vec{A} - \vec{N} = \vec{A} - \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} = \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2}
\]

Cộng các vector này lại, ta có:
\[
\vec{PB} + \vec{MC} + \vec{NA} = \frac{\vec{B} - \vec{A}}{2} + \frac{\vec{C} - \vec{B}}{2} + \frac{\vec{A} - \vec{C}}{2}
\]

Khi thực hiện cộng, ta có:
\[
= \frac{(\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{C} - \vec{B}) + (\vec{A} - \vec{C})}{2} = \frac{\vec{B} - \vec{A} + \vec{C} - \vec{B} + \vec{A} - \vec{C}}{2} = \frac{0}{2} = \vec{0}
\]

### b) Tính toán vector \( \vec{BA} + \vec{PA} + \vec{CM} \)

Ta biết rằng:
\[
\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B}
\]
\[
\vec{PA} = \vec{A} - \vec{P} = \vec{A} - \frac{\vec{A} + \vec{B}}{2} = \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2}
\]
\[
\vec{CM} = \vec{M} - \vec{C} = \frac{\vec{B} + \vec{C}}{2} - \vec{C} = \frac{\vec{B} - \vec{C}}{2}
\]

Cộng các vector này lại, ta có:
\[
\vec{BA} + \vec{PA} + \vec{CM} = (\vec{A} - \vec{B}) + \frac{\vec{A} - \vec{B}}{2} + \frac{\vec{B} - \vec{C}}{2}
\]
\[
= \left(1 + \frac{1}{2}\right)(\vec{A} - \vec{B}) + \frac{\vec{B} - \vec{C}}{2}
\]
\[
= \frac{3}{2}(\vec{A} - \vec{B}) + \frac{\vec{B} - \vec{C}}{2}
\]

Để đưa về dạng tổng quát, ta tính:
\[
= \left(\frac{3}{2}\vec{A} - \frac{3}{2}\vec{B} + \frac{1}{2}\vec{B} - \frac{1}{2}\vec{C}\right) = \frac{3}{2}\vec{A} - \frac{2}{2}\vec{B} - \frac{1}{2}\vec{C}
\]
\[
= \frac{3}{2}\vec{A} - \vec{B} - \frac{1}{2}\vec{C}
\]

Kết luận:
\[
a) \vec{PB} + \vec{MC} + \vec{NA} = \vec{0}
\]
\[
b) \vec{BA} + \vec{PA} + \vec{CM} = \frac{3}{2}\vec{A} - \vec{B} - \frac{1}{2}\vec{C}
\]