Lời giải

Gọi I là trung điểm của CD ta có I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác COD đường kính CD

Xét (O) có CM, CA là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C

Suy ra \(\widehat {AOC} = \widehat {MOC} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}\)

Xét (O) có DM, DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D

Suy ra \(\widehat {BOD} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}\)

Ta có \(\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)

\( \Leftrightarrow \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {COM} + \widehat {DOM} = 90^\circ \)

\( \Leftrightarrow \widehat {COD} = 90^\circ \)

Hay tam giác COD vuông tại O

Nên IO là bán kính của (I)

Ta có AB ⊥ CA, AB ⊥ BD

Suy ra AC // BD (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Do đó ACDB là hình thang

Mà I là trung điểm của CD; O là trung điểm của AB

Suy ra IO là đường trung bình của hình thang ACDB

Do đó IO // AC

Mà AB ⊥ CA

Nên AB ⊥ OI (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét (I) có OI là bán kính, AB ⊥ OI (chứng minh trên)

Suy ra AB là tiếp tuyến tại O của đường tròn đường kính CD

Vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.