Phương pháp

Áp dụng hằng đẳng thức a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+ac+bc

và a+b3=a3+b3+3aba2+b2

Cách giải:

Ta có:a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+ac+bc

Mà theo đề bài a+b+c2=a2+b2+c2

Suy ra 2ab+ac+bc=0⇔ab+ac+bc=0

⇔ab+ac=−bc

⇔ab+ac3=−b3c3

⇔a3b3+a3c3+3a2bcab+ac=−b3c3

⇔a3b3+a3c3+b3c3=−3a2bc.−bc

⇔a3b3+a3c3+b3c3=3a2b2c2

Mà a,b,c≠0  nên ta có

a3b3+a3c3+b3c3=3a2b2c2

⇔a3b3+a3c3+b3c3a3b3c3=3a2b2c2a3b3c3

⇔1a3+1b3+1c3=3abcdpcm