Gọi M là giao điểm của DI và AC. F là giao điểm của DI và BE.

Ta có: \(\widehat {ADM} + \widehat {DMA} = 90^\circ \) (do ∆AND vuông tại A)

\(\widehat {FME} + \widehat {MEF} = 90^\circ \) (Do ∆MFE vuông tại F)

\( \Rightarrow \widehat {DMA} + \widehat {BEA} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {ADM} = \widehat {BEA}\)

Xét ∆ADM và ∆AEB có:

\(\widehat {ADM} = \widehat {AEB}\)(cmt)

AD = AE (gt)

\(\widehat {DAM} = \widehat {EAB} = 90^\circ \)

Do đó ∆ADM = ∆AEB (g.c.g)

Suy ra AM = AB = AC.

Mà AH // IM (cùng vuông góc BE)

⇒ HA là đường trung bình của ∆ICM

⇒ HI = HC (đpcm).