Xét hàm số f(x) = x⁵ + 3x² ‒ 1. Hàm số này liên tục trên ℝ.

Ta có:

f(‒2) = (‒2)⁵ + 3.(‒2)² ‒ 1 = ‒32 + 12 ‒ 1 = ‒21.

f(‒1) = (‒1)⁵ + 3.(‒1)² ‒ 1 = ‒1 + 3 ‒ 1 = 1.

f(0) = 0⁵ + 3.0² ‒ 1 = ‒1.

f(1) = 1⁵ + 3.1² ‒ 1 = 3.

Do f(‒2).f(‒1) = ‒21 < 0 nên phương trình f(x) có nghiệm thuộc (‒2; ‒1).

Do f(‒1).f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (‒1; 0).

Do f(0).f(1) = ‒3 < 0 nên phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc (0; 1).

Vậy trong mỗi khoảng (‒2; ‒1), (‒1; 0) và (0; 1) phương trình f(x) = 0 hay x⁵ + 3x² ‒ 1 = 0 đều có ít nhất một nghiệm.