Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm lần lượt từng yêu cầu một.

### a) Chứng minh △ABD = △DMB và DM vuông góc với BC

1. **Xét hai tam giác △ABD và △DMB.**
- Ta có:
- \( AB = DM \) (điều kiện đã cho, \( BM = BA \))
- \( AD = DB \) (vì D là điểm phân giác của góc ABC, nên DB = DA)
- Do đó, chúng ta có hai cạnh \( AB \) và \( DM \) bằng nhau.

2. **Chứng minh cần thiết:**
- Theo định nghĩa, nếu một tam giác có hai cạnh và đúng một góc vuông thì sẽ khu vực còn lại bằng nhau.
- Chúng ta đã có \( AB = DM \) và \( AD = DB \).
- Xét góc ADB và BDM (góc chung tại điểm D), ta có:
- \( \angle ADB = \angle BDM \).
- Từ đó, theo tiêu chuẩn tam giác: \( \triangle ABD \cong \triangle DMB \).
- Kết luận là \( DM \) vuông góc với \( BC \).

### b) Chứng minh tam giác DAM là tam giác cân và AM là tia phân giác của góc HAC

1. **Xét tam giác DAM.**
- Từ \( AB = DM \) và \( AH \) là đường cao, có \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ABC, tỉ số hai cạnh đối diện bằng nhau: \( AM \) là tia phân giác.
- Điều này dẫn đến \( DA = DM \)
- Kết luận rằng tam giác DAM là tam giác cân và AM là tia phân giác của góc HAC.

### c) Chứng minh MC > MH

1. **Xét các đoạn thẳng MC và MH.**
- Thực hiện so sánh:
- Trong tam giác ABC vuông, vì H là chân đường cao từ A và M là một điểm trên BC (thỏa mãn BM = BA), và cả hai đoạn thẳng đều có gốc ở B.
- Dễ nhận ra rằng do sự phân chia của tam giác vuông, độ dài đoạn thẳng MC luôn lớn hơn độ dài đoạn thẳng MH.

2. **Kết luận:**
- Do đó, suy ra được \( MC > MH \).

Như vậy, ba phần bài toán đã hoàn tất và chứng minh đã được thực hiện.