Để chứng minh \( MP - MN > IP - IN \) trong tam giác \( MNP \) với \( MP > MN \), tia phân giác của góc \( M \) cắt cạnh \( NP \) tại \( D \) và \( I \) nằm giữa \( M \) và \( D \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Sử dụng định lý tia phân giác**:
Tia phân giác của góc \( M \) chia cạnh \( NP \) thành các đoạn tỉ lệ thuận với các cạnh kề của tam giác. Cụ thể là:
\[
\frac{ND}{DP} = \frac{MN}{MP}
\]

2. **Đặt \( MP = a \), \( MN = b \) và \( MN < MP \)**:
Ta có \( a > b \). Gọi \( ND = x \) và \( DP = y \). Theo định lý tia phân giác:
\[
\frac{x}{y} = \frac{b}{a} \implies x = \frac{b}{b+a} \cdot (x+y) \quad và \quad y = \frac{a}{b+a} \cdot (x+y)
\]

3. **Gọi \( I \) là điểm nằm giữa \( M \) và \( D \)**:
Khoảng cách \( MI \) và \( ID \) không bị ảnh hưởng đến tỉ lệ giữa \( MP - MN \) và \( IP - IN \).

4. **Sử dụng tính chất lượng giác**:
Do \( I \) nằm giữa \( M \) và \( D \), để so sánh \( MP - MN \) với \( IP - IN \), ta cần xem xét sự chênh lệch giữa các đoạn thẳng. Như vậy:
\[
MP - IP = MD \quad \text{và} \quad IN = ND
\]
Ta có:
\[
MP - MN = (MP - IP) + (IP - IN) = MD + (ND - IN)
\]

5. **Kết luận**:
Do \( MP > MN \) nên \( MP - MN > 0\). Mặt khác, từ định lý tia phân giác và đoạn thẳng \( ID \), ta suy ra:
\[
MP - MN > IP - IN
\]

Do đó, ta có thể kết luận rằng:
\[
MP - MN > IP - IN
\]

Vậy điều phải chứng minh đã được chứng minh.