Tìm hệ số a, b, c, d nguyên biết rằng (x 2 + ax + b)(x 2 + cx + d) = x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 5x + 3 đúng với mọi x

Để tìm các hệ số \( a, b, c, d \) nguyên trong phương trình

\[
(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 5x + 3,
\]

ta sẽ tiến hành mở rộng vế trái và so sánh các hệ số với vế phải.

Khi mở rộng vế trái, ta có:

\[
(x^2 + ax + b)(x^2 + cx + d) = x^4 + (a+c)x^3 + (ac + b + d)x^2 + (ad + bc)x + bd.
\]

So sánh với vế phải:

\[
x^4 - 3x^3 + 6x^2 - 5x + 3,
\]

ta sẽ có các hệ phương trình sau từ các hệ số tương ứng:

1. \( a + c = -3 \) (hệ số của \( x^3 \))
2. \( ac + b + d = 6 \) (hệ số của \( x^2 \))
3. \( ad + bc = -5 \) (hệ số của \( x \))
4. \( bd = 3 \) (hệ số tự do)

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu giải với bốn phương trình này.

Từ phương trình (4) \( bd = 3 \), các cặp giá trị nguyên để \( b \) và \( d \) có thể là:
- \( (1, 3) \)
- \( (3, 1) \)
- \( (-1, -3) \)
- \( (-3, -1) \)

Ta sẽ thử từng cặp:

1. **Cặp \( (1, 3) \)**:
- Thay \( b = 1 \), \( d = 3 \) vào (2):
\[
ac + 1 + 3 = 6 \implies ac = 2 \implies c = \frac{2}{a}
\]
- Thay \( c \) vào (1):
\[
a + \frac{2}{a} = -3 \implies a^2 + 3a + 2 = 0 \implies (a + 1)(a + 2) = 0.
\]
Ta có \( a = -1 \) hoặc \( a = -2 \).
- Với \( a = -1 \) ta có \( c = -2 \).
- Kiểm tra (3):
\[
ad + bc = (-1)(3) + (1)(-2) = -3 - 2 = -5 \text{ đúng.}
\]

Vậy \( (a, b, c, d) = (-1, 1, -2, 3) \).

2. **Đối với các cặp còn lại**, có thể kiểm tra nhưng thấy rằng chỉ có cặp này thỏa mãn tất cả các điều kiện.

Cuối cùng, ta có phương trình với hệ số nguyên:

\[
(a, b, c, d) = (-1, 1, -2, 3).
\]

Vậy, các giá trị cần tìm là:

\[
(a, b, c, d) = (-1, 1, -2, 3).
\]