Chứng minh với n là số nguyên dương thì (3n+1)(5n+3) không là số chính phương

Để chứng minh rằng với \( n \) là số nguyên dương, biểu thức \( (3n+1)(5n+3) \) không phải là số chính phương, chúng ta sẽ phân tích biểu thức này.

1. **Tính giá trị của biểu thức**:

- Ta có:
\[
(3n+1)(5n+3) = 15n^2 + 9n + 5n + 3 = 15n^2 + 14n + 3.
\]

2. **Giả sử biểu thức là số chính phương**:

Giả sử \( (3n+1)(5n+3) = k^2 \) với \( k \) là một số nguyên.

3. **Xét phần chia lấy dư**:

Để chứng minh, ta kiểm tra giá trị của \( (3n + 1)(5n + 3) \) với modulo 4 (vì mọi số chính phương đều có dạng 0 hoặc 1 modulo 4):

- **Xét \( n \) theo modulo 2**:
- Nếu \( n \) là chẵn (n = 2m):
\[
3n + 1 = 3(2m) + 1 = 6m + 1 \quad (\text{mod } 4) \equiv 1,
\]
\[
5n + 3 = 5(2m) + 3 = 10m + 3 \quad (\text{mod } 4) \equiv 3.
\]
Vậy:
\[
(3n+1)(5n+3) \equiv 1 \cdot 3 \equiv 3 \quad \text{(mod 4)}.
\]

- Nếu \( n \) là lẻ (n = 2m + 1):
\[
3n + 1 = 3(2m + 1) + 1 = 6m + 3 + 1 = 6m + 4 \quad (\text{mod } 4) \equiv 0,
\]
\[
5n + 3 = 5(2m + 1) + 3 = 10m + 5 + 3 = 10m + 8 \quad (\text{mod } 4) \equiv 0.
\]
Vậy:
\[
(3n + 1)(5n + 3) \equiv 0 \quad \text{(mod 4)}.
\]

4. **Kết luận**:

- Từ các tính toán ở trên, ta thấy:
- Nếu \( n \) chẵn, \((3n+1)(5n+3) \equiv 3 \mod 4\).
- Nếu \( n \) lẻ, \((3n + 1)(5n + 3) \equiv 0 \mod 4\).

- Tuy nhiên, số chính phương chỉ có thể bằng 0 hoặc 1 modulo 4. Vì vậy, không có giá trị nào trong trường hợp \( n \) chẵn hoặc lẻ mà \( (3n + 1)(5n + 3) \) có thể là số chính phương.

Do đó, ta kết luận rằng \( (3n + 1)(5n + 3) \) không phải là số chính phương với mọi \( n \) là số nguyên dương.