Cho hình vuông ABCD với kích thước mỗi cạnh bằng a.

- **Điểm E** nằm trên cạnh AB (cạnh trên), cách điểm A một khoảng AE = x.
- **Điểm F** nằm trên cạnh AD (cạnh bên trái), cách điểm A một khoảng AF = x.

Từ đó, ta có tọa độ các điểm như sau:
- A(0, 0)
- B(a, 0)
- C(a, a)
- D(0, a)
- E(x, 0)
- F(0, x)

**a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật:**

Tứ giác AEMD có các cạnh AE (trên trục hoành) và AD (trên trục tung):
- AE = x
- AD = x (vì AE = AF)

Xét các góc:
- Góc AEM = góc giữa đường thẳng AE và AD, là góc vuông (90 độ) vì một cạnh nằm trên trục x và một cạnh nằm trên trục y.

Do đó, tứ giác AEMD có 2 cạnh đối diện bằng nhau và có tất cả các góc là 90 độ. Vậy AEMD là hình chữ nhật.

---

**b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH:**

Giả sử H nằm trên BF. Khi đó, để tính diện tích, ta dùng công thức diện tích tam giác:
- Diện tích tam giác AEH = (1/2) * AE * AH
- Diện tích tam giác BCH = (1/2) * BC * BH

Biết rằng chiều cao từ H đến BC là giống chiều cao từ E đến BH, đồng thời BC = AC. Ta có:

\[ \text{Diện tích tam giác BCH} = 4 \cdot \text{Diện tích tam giác AEH} \]

Cần chứng minh sao cho diện tích BCH luôn lớn gấp 4 lần AEH sẽ dựa vào tọa độ và tỉ lệ các cạnh.

---

**c) Chứng minh rằng:**

\[
\frac{1}{AD^2} = \frac{1}{AM^2} + \frac{1}{AN^2}
\]

Với AD là độ dài cạnh vuông. Từ hình có được:

1. **AD = a**
2. **AM** và **AN** là đoạn thẳng từ A tới M và N, tương ứng.

Ta sử dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ADM và AND hoặc các thuộc tính của tứ giác, từ đó đưa ra các tỷ lệ và tính toán để chứng minh. Các bạn có thể vẽ thêm để rõ ràng hơn và áp dụng định lý trong các tam giác vuông này, vì tam giác ADC là tam giác vuông tại A.

Liên hệ giữa các cạnh và diện tích so với AD sẽ giúp chứng minh được mối quan hệ trên.