Để chứng minh các phần bài toán đã cho, ta sẽ làm theo từng bước cụ thể.

### a) Chứng minh tứ giác BACD là hình thang vuông
Trước tiên, vì tam giác ABC vuông tại A, ta có AH là đường cao từ A đến cạnh BC.

1. **Chứng minh tứ giác BACD là hình thang vuông:**
- Ta có D là điểm đối xứng của A qua BC, do đó, nếu ta kẻ đường thẳng BD và DC, nhận thấy BD = DA (bởi D đối xứng với A).
- Ba điểm B, A, C cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với BC tại A.

2. **Tính chất góc:**
- Từ định nghĩa của đối xứng, ta có góc BCA = góc BDC; và góc ACB = góc ADB.
- Hơn nữa, vì ABC là tam giác vuông, nên góc BAC = 90° và do đó, góc BDC cũng nhận được 90°.

Từ hai điểm trên, ta có thể suy ra tứ giác BACD là một tứ giác mà hai cặp cạnh bên (AB và AD, BC và CD) lần lượt song song và vuông góc với nhau. Vậy, BDC vuông tại B.

### b) Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn
Để chứng minh A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất cùng thuộc một đường tròn khi các góc đối diện tạo thành đường kính.

1. **Chứng minh góc BAC = góc BDC:**
- Ta đã biết rằng góc BAC = 90° và góc BDC = 90° do D là đối xứng của A qua BC, vì vậy A, B, D nằm trên đường tròn mà đường kính xuyên qua BC.

2. **Xác định tâm O và bán kính R:**
- Tâm O của đường tròn sẽ nằm trên đường trung bình giữa BC và cách đều với B và C. Tâm đường tròn được xác định là giao điểm của các đường trung trực.
- Bán kính R của đường tròn sẽ bằng khoảng cách từ tâm O đến bất kỳ điểm nào trên đường tròn, có thể chọn B hoặc C hay D để tính.

Tóm lại, A, B, C, D đều thuộc một đường tròn với đường kính là đoạn BC và đường kính này vuông góc với các đường cao xuất phát từ A.