Để chứng minh rằng trong tam giác nhọn \( ABC \), có công thức \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \) với \( R \) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, chúng ta có thể dùng định nghĩa về đường tròn ngoại tiếp và các tính chất của tam giác.

1. **Định nghĩa về bán kính đường tròn ngoại tiếp**: Trong một tam giác, bán kính đường tròn ngoại tiếp \( R \) được định nghĩa là khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp đến một trong các đỉnh của tam giác, và nó có thể được tính thông qua độ dài các cạnh và các góc của tam giác.

2. **Sử dụng Định lý Sin**: Định lý Sin nói rằng tỉ số giữa cạnh và sin của góc đối diện là hằng số cho cả ba cạnh trong tam giác. Cụ thể, với tam giác \( ABC \):

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
\]

3. **Tính Bán kính đường tròn ngoại tiếp**: Chúng ta có thể sử dụng công thức:

\[
R = \frac{abc}{4S}
\]

Trong đó \( S \) là diện tích của tam giác, có thể được tính bằng công thức Heron:

\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\]

với \( p = \frac{a + b + c}{2} \).

4. **Kết hợp với định lý Sin**: Áp dụng định lý Sin và sử dụng công thức trên, ta có:

\[
S = \frac{1}{2}ab\sin C
\]

Từ đó, ta có thể thay thế diện tích vào công thức của \( R \):

\[
R = \frac{abc}{2ab\sin C} = \frac{c}{2\sin C}
\]

Tương tự, ta có:

\[
\frac{a}{\sin A} = 2R, \quad \frac{b}{\sin B} = 2R, \quad \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

5. **Kết luận**: Từ các điều trên, ta có thể khẳng định rằng:

\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được công thức yêu cầu.