Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\).
Bằng cách nhấp vào Đăng nhập, bạn đồng ý Chính sách bảo mật và Điều khoản sử dụng của chúng tôi. Nếu đây không phải máy tính của bạn, để đảm bảo an toàn, hãy sử dụng Cửa sổ riêng tư (Tab ẩn danh) để đăng nhập (New Private Window / New Incognito Window).
Ta có x + y + z = xyz.
\( \Leftrightarrow x = \frac\).
\( \Leftrightarrow {x^2} = \frac{{{x^2} + xy + xz}}\).
\( \Leftrightarrow {x^2} + 1 = \frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}\).
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} \).
Chứng minh tương tự, ta có \(\frac{1}{{\sqrt {{y^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} \); \(\frac{1}{{\sqrt {{z^2} + 1} }} = \sqrt {\frac{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \).
Cộng theo từng vế ba đẳng thức trên và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
\(P = \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}\)
\( = \sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {x + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}} + \sqrt {\frac{{\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)}}} \)
\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{y} + \frac{z}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x} + \frac{z}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{x} + \frac{y}} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\frac{y} + \frac{z} + \frac{x} + \frac{z} + \frac{x} + \frac{y}} \right)\)
\( = \frac{3}{2}\).
Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P bằng \(\frac{3}{2}\) khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt 3 \).
Tham gia Cộng đồng Lazi trên các mạng xã hội | |
Fanpage: | https://www.fb.com/lazi.vn |
Group: | https://www.fb.com/groups/lazi.vn |
Kênh FB: | https://m.me/j/AbY8WMG2VhCvgIcB |
LaziGo: | https://go.lazi.vn/join/lazigo |
Discord: | https://discord.gg/4vkBe6wJuU |
Youtube: | https://www.youtube.com/@lazi-vn |
Tiktok: | https://www.tiktok.com/@lazi.vn |
Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi
Vui | Buồn | Bình thường |