Lời giải:

a) Trong mặt phẳng (ABB'A'), gọi D là giao điểm của PM và BB'.

Vì D thuộc BB' nên D thuộc mặt phẳng (BCC'B'), N thuộc BC nên N thuộc mặt phẳng (BCC'B'), do đó trong mặt phẳng (BCC'B') nối D với N, đường thẳng DN cắt B'C tại K.

Vì D thuộc PM nên D thuộc mặt phẳng (MNP), do đó DN nằm trong mặt phẳng (MNP).

Mà K thuộc DN nên K thuộc mặt phẳng (MNP).

Do vậy, K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B'C.

b) Xét tam giác A'AB có P, M lần lượt là trung điểm của các cạnh AA', AB nên PM là đường trung bình của tam giác A'AB, suy ra PM // A'B hay PD // A'B.

Lại có A'P // BD (vì AA' // BB' do nó là các cạnh bên của hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C').

Do đó, tứ giác A'PDB là hình bình hành. Suy ra A'P = BD.

Mà P là trung điểm của AA' nên A'P = \(\frac{1}{2}\)AA', suy ra BD = \(\frac{1}{2}\)AA'.

Lại có AA' = BB' (do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác).

Từ đó suy ra BD = \(\frac{1}{2}\)BB' (1) ⇒ \[\frac{{B'D}} = \frac{1}{3}\] (2).

Gọi E là trung điểm của B'C. Vì N là trung điểm của BC, do đó EN là đường trung bình của tam giác BB'C, suy ra EN // BB' và EN = \(\frac{1}{2}\)BB' (3).

 Từ (1) và (3) suy ra EN = BD (4).

Từ (2) và (4) suy ra \[\frac{{B'D}} = \frac{1}{3}\].

Xét tam giác KDB' có EN // B'D (vì EN // BB'), theo định lí Thalés ta có:

\(\frac{{KB'}} = \frac{{B'D}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra KE = \(\frac{1}{3}\)KB' ⇒ KE = \(\frac{1}{2}\)EB'.

Mà EB' = EC (do E là trung điểm của B'C).

Do đó, KE = \[\frac{1}{2}EC\]. Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó KC = \(\frac{1}{2}EC\).

Mà EC = \(\frac{1}{2}\)B'C. Suy ra KC = \[\frac{1}{2}.\frac{1}{2}B'C = \frac{1}{4}B'C\]. Từ đó suy ra KC = \(\frac{1}{3}\)KB'.

Vậy \(\frac{{KB'}} = 3\).