Ta đặt f là phép biến hình biến con thiên nga trong bức tranh thành bóng của con thiên nga đó qua đường thẳng d (mặt hồ).

Chọn M’ = f(M) hay M’ là điểm đối xứng của M qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Khi đó H là trung điểm của MM’ và MM’ ⊥ d tại H.

Trên hình 7b, chọn điểm N tùy ý trên con thiên nga đã vẽ trên mặt hồ (như hình vẽ).

Chọn N’ = f(N) hay N’ là điểm đối xứng của N qua d.

Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng NN’.

Gọi K là giao điểm của NN’ và d.

Khi đó K là trung điểm của NN’ và NN’ ⊥ d tại K.

Ta có MN→+M'N'→=MH→+HK→+KN→+M'H→+HK→+KN'→

=MH→+M'H→+KN→+KN'→+2HK→

=0→+0→+2HK→ (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

=2HK→.

Lại có MN→−M'N'→=HN→−HM→−HN'→−HM'→.

                              =HN→−HM→−HN'→+HM'→

                              =HN→−HN'→+HM'→−HM→=N'N→+MM'→

Ta có MN→2−M'N'→2=MN→+M'N'→MN→−M'N'→=2HK→N'N→+MM'→

=2HK→.N'N→+2HK→.MM'→=2.0+2.0=0 (do MM’ ⊥ d và NN’ ⊥ d).

Suy ra MN→2=M'N'→2.

Do đó MN = M’N’.

Vì vậy phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Vậy ta có điều phải chứng minh.