Trường hợp 1: M ∈ d.

Khi đó M = Đd(M).

Vì vậy M’ ≡ M.

Do đó M’(x0; y0).

Trường hợp 2: M ∉ d.

Theo đề, ta có M’ = Đd(M).

Suy ra d là đường trung trực của đoạn MM’, do đó d ⊥ MM’.

Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến n→d=1;−1.

Vì vậy MM’ nhận n→d=1;−1 làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình MM’: x=x0+ty=y0−t

Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

Suy ra H là trung điểm MM’ và tọa độ H(x0 + t; y0 – t).

Ta có H ∈ d.

Suy ra x0 + t – y0 + t = 0.

⇔ t=y0−x02.

Do đó tọa độ Hx0+y02;x0+y02.

Ta có H là trung điểm MM’.

Suy ra xM'=2xH−xM=2.x0+y02−x0=y0yM'=2yH−yM=2.x0+y02−y0=x0

Do đó tọa độ M’(y0; x0).

Vậy M'x0;y0  khi  M∈dM'y0;x0  khi  M∉d.