Để chứng minh tứ giác ADBC là hình bình hành, chúng ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ADBC là song song và bằng nhau.

**Bước 1: Chứng minh AB || CD**

Trong tam giác ABC cân tại A, chúng ta biết rằng \( AB = AC \) (định nghĩa của tam giác cân).

Vì I là trung điểm của AC, ta có:
\[ AI = IC \]

Lấy điểm D sao cho I là trung điểm của BD, do đó ta có:
\[ BI = ID \]

Từ đó ta cũng có:
\[ AB + BI = AC + ID \]
Vì \( I \) là trung điểm, ta nên có:
\[ AB = AC \]

Từ điểm để ra, ta có:
\[ AB + BI = AC + ID \implies AB = CD \]

Điều này cũng có thể được nhìn thấy bằng cách sử dụng đoạn thẳng song song.

**Bước 2: Chứng minh AD || BC**

Vì I là trung điểm của cả AC và BD, ta cũng nên có:
\[ AD + DI = CI + ID \]

Do trong tam giác, các kheength tuyến của D và I tạo ra đường đối diện, và các đoạn tạo ra bởi các điểm I, A, D trên đường chéo tạo ra hai cặp cạnh song song, gây ra sự đối xứng.

**Bước 3: Chứng minh AD = BC**

Ta đã thiết lập rằng \( AB = AC \) và \( BI = ID\), dẫn đến:
\[ AD = AB + AI \]

Mặt khác, từ tam giác ABC có:
\[ BC = AB + AI \text{ cũng} \]

Khi đặt các yếu tố này vào thì bạn có thể nhận thấy rằng AD và BC thông qua các quỹ tích này đều bằng nhau.

**Kết luận:**

Vì hai cặp cạnh đối diện của tứ giác ADBC song song và bằng nhau (AB = CD và AD = BC), nên tứ giác ADBC là hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tứ giác ADBC là hình bình hành.