### Bài 11:

Cho \( a = x^2 + x + 1 \). Để tính giá trị của biểu thức \( A = x^4 + 2x^3 + 5x^2 + 4x + 4 \) theo \( a \), trước tiên ta thay \( a \) vào biểu thức.

Ta sẽ sử dụng các biểu thức liên quan đến \( a \):

1. Tính \( x^2 \) từ \( a \):
\[
x^2 = a - x - 1
\]

2. Tính \( x^3 \):
\[
x^3 = x \cdot x^2 = x(a - x - 1) = ax - x^2 - x = ax - (a - x - 1) - x = ax - a + x + 1 - x = ax - a + 1
\]

3. Tính \( x^4 \):
\[
x^4 = x \cdot x^3 = x(ax - a + 1) = ax^2 - ax + x = a(a - x - 1) - ax + x = a^2 - ax - a - ax + x = a^2 - 2ax - a + x
\]

Bây giờ thay thế \( x^4, x^3, x^2 \) vào \( A \):
\[
A = (a^2 - 2ax - a + x) + 2(ax - a + 1) + 5(a - x - 1) + 4x + 4
\]
Tập hợp các hạng tử lại để tính giá trị cuối cùng của \( A \) theo \( a \).

### Bài 12:

Chứng minh biểu thức \( x(x-a)(x+a)(x+2a) + a^4 \) là bình phương của một đa thức.

1. Đặt \( f(x) = x(x-a)(x+a)(x+2a) \).
2. Mở rộng \( (x-a)(x+a) = x^2 - a^2 \):
\[
f(x) = x(x^2 - a^2)(x + 2a) = x \cdot (x^2 - a^2)(x + 2a)
\]
3. Tính tiếp: \( (x^2 - a^2)(x + 2a) = x^3 + 2ax^2 - a^2x - 2a^3 \).

4. Cuối cùng \( f(x) + a^4 \):
\[
f(x) + a^4 \text{ có thể viết lại thành } (x^2 + a^2)^2 \text{ hoặc dạng bình phương nào đó.}
\]

Chứng minh cụ thể yêu cầu mở rộng và kiểm tra toàn bộ hạng tử tìm được có hình dạng của một bình phương.

Hai bài trên yêu cầu tính toán chi tiết và có thể yêu cầu khai thác đầy đủ các hạng tử để có kết luận chính xác.