Cho tam giác ABC; A = 90 độ, đường cao AH. Biết CH = 3BH. Tính: a) Số đo của các góc. b) Tính chu vi tam giác ABC biết AH = căn 3

Để giải bài toán về tam giác vuông ABC với A = 90° và đường cao AH, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Tính các góc của tam giác

Do A = 90°, ta có hai góc còn lại là B và C. Theo điều kiện đề bài cho là \( CH = 3BH \), ta thiết lập hệ thức giữa các đoạn của tam giác.

Kí hiệu:
- \( BH = x \)
- \( CH = 3x \)

Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:
\[
AH^2 = BH \cdot CH
\]
Thay các giá trị vào, ta có:
\[
AH^2 = x \cdot 3x = 3x^2
\]
Biết được AH = \(\sqrt{3}\), ta thay vào phương trình:
\[
(\sqrt{3})^2 = 3x^2
\]
\[
3 = 3x^2 \implies x^2 = 1 \implies x = 1
\]
Vậy:
- \( BH = 1 \)
- \( CH = 3 \)

Vậy ta có thể tính cạnh BC là:
\[
BC = BH + CH = 1 + 3 = 4
\]

Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
Với AH = \(\sqrt{3}\), ta tính được:
\[
AB \cdot AC = AH^2 = 3
\]
Gọi \( AB = a, AC = b \), ta có:
1. \( a \cdot b = 3 \) (1)
2. \( a^2 + b^2 = BC^2 = 16 \) (2)

Từ (1), thay \( b = \frac{3}{a} \) vào (2):
\[
a^2 + \left(\frac{3}{a}\right)^2 = 16
\]
\[
a^2 + \frac{9}{a^2} = 16
\]
Nhân hai vế với \( a^2 \):
\[
a^4 - 16a^2 + 9 = 0
\]
Gọi \( t = a^2 \) thì ta có phương trình bậc 2:
\[
t^2 - 16t + 9 = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = 16^2 - 4 \times 1 \times 9 = 256 - 36 = 220
\]
\[
t = \frac{16 \pm \sqrt{220}}{2} = 8 \pm \sqrt{55}
\]

Nghiệm này sẽ cho chúng ta \( a^2 \) và \( b^2 \), từ đó giản ước để tính số đo góc bằng định nghĩa:

Sử dụng định nghĩa tan:
\[
\tan B = \frac{AH}{BH} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3} \implies B = 60^\circ
\]
\[
\tan C = \frac{AH}{CH} = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies C = 30^\circ
\]

### b) Tính chu vi tam giác ABC

Chiều dài của các cạnh:
- \( AB = \sqrt{a} = \sqrt{8 + \sqrt{55}} \)
- \( AC = \sqrt{b} = \sqrt{8 - \sqrt{55}} \)
- \( BC = 4 \)

Chu vi \( P \):
\[
P = AB + AC + BC
\]
Do đó, chu vi sẽ bằng:
\[
AB + AC + 4 = \sqrt{16} + 4
\]

Kết quả cuối cùng:
- Các góc: \( B = 60^\circ, C = 30^\circ \)
- Chu vi: \( P = AB + AC + 4 = 4 + 4 = 8 \)

Tóm lại:
- a) Góc B = 60°, góc C = 30°
- b) Chu vi: \( 8 \) (không bao gồm giá trị phân tích đầy đủ của độ dài).

Vậy là ta đã hoàn thành lời giải cho bài toán về tam giác vô cùng đặc biệt này.