Để chứng minh rằng \( \angle ADM = \angle BDN \) trong hình thoi \( ABCD \) với \( AB = BD \) và \( AM = BN \), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. **Ký hiệu các điểm:**
- Gọi \( O \) là giao điểm của đường chéo \( AC \) và \( BD \). Lưu ý rằng trong hình thoi, các đường chéo cắt nhau tại trung điểm và tạo ra các tam giác vuông.

2. **Sử dụng tính chất của hình thoi:**
- Các đường chéo của hình thoi cắt nhau tại trung điểm và vuông góc với nhau, tức là \( \angle AOB = \angle COD = 90^\circ \).

3. **Tam giác:**
- Xét hai tam giác \( ADM \) và \( BDN \).
- \( AM = BN \) (theo giả thiết).
- \( AD = BD \) (tính chất hình thoi).

4. **Sử dụng định lý Cosine:**
- Trong tam giác \( ADM \) và \( BDN \):
- Ta có:
\[
AD^2 = AM^2 + DM^2 \quad \text{và} \quad BD^2 = BN^2 + DN^2
\]
- Do \( AM = BN \), ta có thể nói rằng \( DM = DN \).

5. **Chứng minh góc bằng nhau:**
- Do đó, hai tam giác \( ADM \) và \( BDN \) có các cạnh tương ứng bằng nhau: \( AD = BD \), \( AM = BN \), \( DM = DN \).
- Từ đó, áp dụng định lý về tam giác đồng dạng, ta suy ra \( \angle ADM = \angle BDN \).

Kết luận rằng \( \angle ADM = \angle BDN \) như yêu cầu.