Chứng minh rằng: b là số chính phương?

Để chứng minh rằng \( b \) là số chính phương trong bài toán này, chúng ta sẽ xem xét từng mệnh đề một. Đầu tiên, chúng ta có:

### Bài a
Cho \( a \in \mathbb{N}, b \in \mathbb{N} \) và \( ab \) là số chính phương. Chứng minh rằng \( b \) là số chính phương.

Ta biết rằng:
- Một số là chính phương nếu nó có thể biểu diễn dưới dạng \( n^2 \) với \( n \in \mathbb{N} \).

Giả sử \( ab = k^2 \) với \( k \in \mathbb{N} \).

Nếu \( a = m^2 \) thì ta có:
\[
b = \frac{k^2}{m^2} = \left(\frac{k}{m}\right)^2
\]
Điều này cho thấy \( b \) cũng là một số chính phương.

Nếu \( a \) không phải là chính phương, thì khi phân tích \( a \) vào thừa số nguyên tố, có ít nhất một số nguyên tố \( p \) với số mũ lẻ. Khi đó, số mũ của \( b \) sẽ phải điều chỉnh để đảm bảo rằng số \( ab \) có số mũ chẵn, điều này không thể xảy ra trừ khi \( b \) cũng có dạng \( p^{2k} \) cho số mũ chẵn.

Do đó, trong cả trường hợp, \( b \) luôn phải là số chính phương.

### Bài b
Cho \( a, b \in \mathbb{N}^* \) và \( (a, b) = 1 \). Chứng minh \( ab \) là số chính phương. CMR \( a \) và \( b \) là số chính phương.

Giả sử \( ab = k^2 \) với \( k \in \mathbb{N} \). \( (a, b) = 1 \) nghĩa là số nguyên tố không chung nào của \( a \) và \( b \) không xuất hiện trong phân tích nguyên tố của nhau. Nếu \( a \) hay \( b \) không phải chính phương, số mũ của ít nhất một nguyên tố trong phân tích ước số của nó sẽ là lẻ, khi đó lũy thừa của \( ab \) cũng sẽ là lẻ, điều này dẫn đến \( ab \) không thể là chính phương, tạo ra mâu thuẫn.

### Bài c
Tương tự xét trường hợp là \( (a, b) = 1 \) và \( ab \) là số chính phương của một số nguyên dương. Điều này chứng minh rằng ít nhất một trong hai là số chính phương.

### Bài d
Cho \( a, b \in \mathbb{N}^* \) và \( (a, b) = 1 \). Chứng minh rằng \( a \) và \( b \) là lũy thừa bậc \( k \) của một số tự nhiên \( p \). CMR cả \( a \) và \( b \) là lũy thừa bậc \( k \) của số tự nhiên.

Suy diễn từ cách phân tích nguyên tố, các số này sẽ có dạng \( p^{m_1} \) và \( p^{m_2} \) cho số tự nhiên.

Như vậy, qua các mệnh đề trên, ta có thể khẳng định rằng \( b \) là số chính phương.