Để chứng minh các yêu cầu của bài toán, ta sẽ sử dụng một số tính chất của hình bình hành và cách dựng hình để thực hiện chứng minh các phần (a), (b), (c), (d).

**Giả thiết**: Hình bình hành ABCD với các cạnh AB, BC, CD, DA. Điểm E nằm trên cạnh AB và điểm F nằm trên cạnh CD sao cho AE = DF.

### a. Chứng minh rằng AE // DF và BE // CF

1. **AE // DF**:
- Vì ABCD là hình bình hành, nên các cạnh đối song song, tức là AB // CD.
- Theo định nghĩa của điểm E trên AB và điểm F trên CD, ta có đoạn AE và DF cụ thể nằm trên hai cạnh song song.
- Sử dụng tính chất của đoạn thẳng song song, ta suy ra rằng AE // DF.

2. **BE // CF**:
- Tương tự như trên, ta có:
- AB // CD (từ tính chất hình bình hành).
- Từ đó, do điểm E trên cạnh AB và điểm F trên cạnh CD, ta cũng suy ra được rằng các đoạn thẳng BE và CF sẽ song song với nhau, vì điểm B là đỉnh của AB và điểm C là đỉnh của CD.
- Do đó, BE // CF.

### b. Chứng minh rằng BE = CF

- Theo giả thiết AE = DF và AE // DF, ta có thể sử dụng tính chất đồng dạng của hai tam giác hình chữ nhật.
- Triên khai từ hai tam giác BAE và CFD (hai tam giác này có các cạnh song song và AE = DF, nên có hình dạng tương tự).
- Do đó, các cạnh BE và CF sẽ bằng nhau, tức là BE = CF.

### c. Chứng minh rằng tứ giác AEFD là hình bình hành

- Để chứng minh tứ giác AEFD là hình bình hành, ta cần chứng tỏ các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Ta đã biết AE // DF.
- Bên cạnh đó, theo chứng minh ở (b), ta có BE = CF.
- Do đó, theo tính chất của hình bình hành, tứ giác AEFD là hình bình hành khi có các cạnh đối song song và bằng nhau.

### d. Chứng minh rằng tứ giác BEFC là hình bình hành

- Tương tự như (c), ta sẽ chứng minh tứ giác BEFC có các cạnh đối song song và bằng nhau.
- Chúng ta vừa chứng minh BE // CF và BE = CF.
- Do đó, tứ giác BEFC cũng thoả mãn tính chất các cạnh đối song song và bằng nhau, tức là tứ giác BEFC là hình bình hành.

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán là:
1. AE // DF và BE // CF.
2. BE = CF.
3. Tứ giác AEFD là hình bình hành.
4. Tứ giác BEFC là hình bình hành.

Hy vọng phần chứng minh này rõ ràng và giúp ích cho bạn trong việc hiểu công thức và đặc điểm của hình bình hành!