Để chứng minh các khẳng định trong bài toán về tam giác ABC cân tại C với hai đường cao BH và CK, ta sẽ lần lượt chứng minh từng phần của bài toán.

### a. Chứng minh tam giác ABH = tam giác ACK

1. **Cấu trúc các tam giác**:
- Tam giác ABC là tam giác cân tại C, có nghĩa là AB = AC.
- BH và CK là hai đường cao, tức là: BH ⊥ AC và CK ⊥ AB.

2. **Xét tam giác ABH và ACK**:
- Chúng ta có thể xem xét hai tam giác này.
- ∠BHA = ∠CKA = 90° (vì BH ⊥ AC và CK ⊥ AB).
- AB = AC (do ABC là tam giác cân).
- CH = CK (sự tương đương này xuất phát từ việc C là điểm chung của hai tam giác và CK cũng là đường cao từ C xuống AB).

3. **Sử dụng định lý tam giác đồng dạng**:
- Theo định lý về tam giác vuông đồng dạng: nếu hai tam giác có hai cạnh và một góc vuông bằng nhau thì chúng đồng dạng.
- Do đó, ta có:
- ∠ABH = ∠ACK (cùng là góc vuông),
- AB = AC (cạnh đáy của tam giác cân),
- AH = CK (sự tương đương chiều cao).
- Từ đó ta suy ra rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác ACK.

### b. Chứng minh BCHK là hình thang cân

1. **Cấu trúc của hình thang BCHK**:
- Hình thang BCHK có độ dài hai cạnh bên BH và CK.
- Hai đường cao BH và CK đồng thời là hai đường cao của tam giác ABC.

2. **Chứng minh hai cạnh đáy**:
- Đầu tiên, ta thấy rằng BH = CK (do BH và CK đều là đoạn cao từ C đến cạnh AB và AC).
- Do tam giác ABC là tam giác cân tại C, nên hai cạnh BH và CK không chỉ có chiều dài bằng nhau mà còn có sự đối xứng qua đường trung tuyến.

3. **Kết luận hình thang cân**:
- Khi hai cạnh bên (cạnh BK và cạnh CH) song song và độ dài bằng nhau, hình thang BCHK trở thành hình thang cân.
- Do đó, từ các lập luận trên, chúng ta có thể khẳng định rằng BCHK là hình thang cân.

### Kết luận

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng tam giác ABH bằng tam giác ACK và hình thang BCHK là hình thang cân.