Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

\[
y = \frac{3 + 2 |x + 1|}{1 + |x + 1|}
\]

ta sẽ xét trường hợp của \( |x + 1| \).

Gọi \( t = |x + 1| \), lúc này \( t \geq 0 \). Biểu thức trở thành:

\[
y = \frac{3 + 2t}{1 + t}
\]

Bây giờ, ta cần xét hàm số này theo biến \( t \).

### Tính đạo hàm

Tính đạo hàm của biểu thức \( y(t) \):

\[
y = \frac{3 + 2t}{1 + t}
\]

Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
y' = \frac{(1+t)(2) - (3 + 2t)(1)}{(1 + t)^2}
= \frac{2 + 2t - 3 - 2t}{(1 + t)^2}
= \frac{-1}{(1 + t)^2}
\]

### Phân tích dấu đạo hàm

Hàm \( y' \) luôn âm với mọi \( t \geq 0 \). Do đó, \( y(t) \) là một hàm giảm trên khoảng \( [0, +\infty) \).

### Tìm giá trị tại các biên

Ta cần đánh giá giá trị ở hai đầu:

1. Khi \( t = 0 \) (tương ứng với \( x = -1 \)):
\[
y(0) = \frac{3 + 2 \cdot 0}{1 + 0} = \frac{3}{1} = 3
\]

2. Khi \( t \to +\infty \):
\[
y(t) = \frac{3 + 2t}{1 + t} \to 2 \quad (x \to +\infty \text{ hoặc } x \to -\infty)
\]

### Kết luận

- Giá trị lớn nhất của biểu thức là \( 3 \) khi \( x = -1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \( 2 \) khi \( |x + 1| \to +\infty \) (tức là khi \( x \to +\infty \) hoặc \( x \to -\infty \)).

Do đó, giá trị lớn nhất là \( 3 \) và giá trị nhỏ nhất là \( 2 \).