Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng yêu cầu trong câu hỏi.

### 1. Tam giác ABC là tam giác gì?

Chúng ta đã có độ dài của các cạnh của tam giác ABC:
- AB = √2
- BC = 2

Để xác định xem tam giác ABC là tam giác gì, chúng ta cần tính độ dài cạnh AC và xem xét các điều kiện về tam giác.

Đạo hàm định lý bất đẳng thức tam giác, ta có:

\( AB + BC > AC \)
\( \sqrt{2} + 2 > AC \)

\( AB + AC > BC \)
\( \sqrt{2} + AC > 2 \)

\( AC + BC > AB \)
\( AC + 2 > \sqrt{2} \)

Từ đây, chúng ta có thể thấy được rằng nếu AC = 2, thì tam giác ABC sẽ có AB, BC và AC đều giống nhau, từ đó có thể phỏng đoán rằng tam giác ABC là tam giác vuông tại B hay tam giác đều tùy thuộc vào vị trí của các điểm.

Tuy nhiên, nếu ta không biết AC, khó có thể xác định cụ thể loại tam giác này chỉ bằng hai cạnh.

Sau đó, xét vị trí của các điểm và tính chất đối xứng. Nếu D là điểm đối xứng của A qua BC, D sẽ nằm sao cho AD vuông góc với BC. Từ đó có thể suy ra ABC sẽ vuông tại B hoặc tại A nếu độ dài AC có thuộc tính đặc biệt.

### 2. Chứng minh tứ giác ABDC là hình vuông

Để chứng minh tứ giác ABDC là hình vuông, chúng ta cần chứng minh rằng:
- AB = AD
- BC = AC
- (AB luôn vuông góc với BD)

#### Bước 1: Chứng minh AB = AD

Vì D là điểm đối xứng của A qua BC, nên ta có AB = AD.

#### Bước 2: Chứng minh AC = BC

Như đã áp dụng, nếu AC bằng BC sẽ đồng nghĩa hai cạnh vuông, trong đó BC = 2 và AC = √2.

#### Bước 3: Chứng minh ABD vuông và các cạnh song song

Do D là đối xứng, và AD vuông góc với BC, ta dễ dàng thấy rằng tất cả góc tại các điểm A, B, C, D đều hợp thành 90 độ. Vì vậy ABD vuông và DC sẽ xứng mức nếu ta xét tính vuông góc và độ dài của AB, AC và AD.

Kết luận, qua các bước trên, ta thấy rằng tứ giác ABDC thỏa mãn cả ba tính chất hình vuông (bằng nhau, và cùng vuông góc). Từ đó, ta khẳng định ABDC là hình vuông.

### Tổng kết:

- Tam giác ABC có thể là tam giác vuông hoặc đều (cần thêm thông tin).
- Tứ giác ABDC là hình vuông dựa trên các chứng minh về tính song song và vuông góc giữa các cạnh.

Như vậy, yêu cầu 1 và 2 đã được giải quyết một cách hợp lý.