Để chứng minh các yêu cầu của đề bài, chúng ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi

Để chứng minh tứ giác ABDM là hình thoi, ta cần chứng minh rằng \( AB = AD \) và \( BM = DM \).

- Ta có \( HA = HD \) (theo đề bài) và \( HA \perp AB \), suy ra tam giác vuông \( AHD \) có \( AD = HA = HD \).
- Vì \( D \) nằm trên tia đối của \( HA \), có nghĩa là \( AD = AB \).

Tiếp theo, để chứng minh \( BM = DM \):

- Từ điểm \( D \), đường thẳng kẻ qua \( D \) và song song với \( AB \) sẽ cắt \( BC \) tại \( M \). Do tính chất của đường thẳng song song, mặt khác \( D \) và \( A \) có cùng độ dài từ điểm \( A \) đến các đường thẳng.
- Khi đó, tam giác \( ABM \) và \( ADM \) sẽ có cạnh tương ứng bằng nhau: \( AD = AB \) và \( BM = DM \) (do song song và định lý đường trung bình).

Vì vậy, \( AB = AD \) và \( BM = DM \) dẫn đến tứ giác \( ABDM \) là hình thoi.

### b) Chứng minh AM vuông góc với CD

- Tam giác \( AHC \) vuông tại \( A \), do đó \( AH \perp BC \).
- \( D \) nằm trên đường thẳng song song với \( AB \) và từ điểm \( A \) xuống điểm \( H \), suy ra \( AH \perp AB \) và \( AM \) cũng vuông góc với \( AB \).
- Tương tự, đường CD sẽ cắt qua điểm \( H \) và sẽ vuông góc với đường thẳng \( AM \) bằng tính chất của đường tròn đường kính \( AB \).
- Theo đó \( AM \perp CD \).

Vậy \( AM \) vuông góc với \( CD \).

### c) Chứng minh IN vuông góc với HN

- \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MC \). Do vậy, theo định nghĩa, \( MI = IC \).
- Do \( AH \perp BC \), từ điểm \( H \), vẽ đường thẳng \( HN \) vuông góc với \( BC \).
- Do \( IN \) là trung điểm của đoạn thẳng \( MC \), qua đó suy ra \( IN \) cũng sẽ vuông góc với \( HN \) khi \( H \) là chân đường vuông góc từ \( H \) đến đường thẳng \( MN \) (bởi vì \( H \) là điểm vuông góc từ đường thẳng \( AM \) đến đường thẳng \( BC \)).

Tóm lại, \( IN \) vuông góc với \( HN \).

Như vậy, ta hoàn thành các yêu cầu của đề bài.