Để giải bài toán về tam giác vuông ABC tại B với đường cao BH, ta thực hiện theo các phần yêu cầu:

### a. Tính độ dài \(BI\), \(AB\), \(BC\)

1. **Tính độ dài \(BC\)**:
- Để tính \(BC\), ta có thể sử dụng định lý đường cao trong tam giác vuông. Theo định lý này, ta có:
\[
AH \cdot CH = BH^2
\]
- Với \(AH = 9\, \text{cm}\), \(CH = 16\, \text{cm}\), tính \(BH\):
\[
BH^2 = AH \cdot CH = 9 \cdot 16 = 144 \implies BH = 12\, \text{cm}
\]

2. **Tính \(AB\) và \(BC\)**:
- Từ đường cao, có mối quan hệ:
\[
AB = AH + BH = 9 + 12 = 21\, \text{cm}
\]
- Ứng dụng hệ thức:
\[
BC = AH + CH = 9 + 16 = 25\, \text{cm}
\]

### b. Chứng minh \(BE \cdot BC = HA \cdot HC\)
- Theo định lý đường cao:
\[
BE \cdot BC = BH^2 = AH \cdot CH
\]

### c. Vẽ trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\)
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\). Theo định nghĩa trung tuyến:
\[
BM = \frac{1}{2}AC \text{ với } AC = \sqrt{AB^2 + BC^2}
\]

### d. Vẽ phân giác tại \(D\) trên \(AC\)
- Dựa trên định lý phân giác, ta cần chứng minh:
\[
\frac{1}{AB} + \frac{1}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{BD} \text{ (với } BD \text{ là độ dài từ phân giác tới điểm D)}
\]

### Tóm tắt kết quả
- \(AB = 21\, \text{cm}, BC = 25\, \text{cm}, BH = 12\, \text{cm}\)
- Chứng minh các mối quan hệ là đúng theo định lý như đã trình bày.