Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = \frac{5x + 9}{x + 3} \), chúng ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm.

Đầu tiên, chúng ta sẽ tính đạo hàm của \( A \):

\[
A = \frac{5x + 9}{x + 3}
\]

Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương:

\[
A' = \frac{(x + 3)(5) - (5x + 9)(1)}{(x + 3)^2}
\]

Tính tử số:

\[
= \frac{5x + 15 - 5x - 9}{(x + 3)^2} = \frac{6}{(x + 3)^2}
\]

Đạo hàm \( A' \) luôn dương (vì \( (x + 3)^2 > 0 \) với mọi \( x \)), điều này có nghĩa là \( A \) là một hàm đồng biến.

Vì \( A \) là hàm đồng biến, nên giá trị nhỏ nhất của nó xảy ra khi \( x \) đạt giá trị nhỏ nhất trong miền xác định của hàm này. Nhận thấy rằng \( A \) không xác định khi \( x + 3 = 0 \) hay \( x = -3 \).

Để khảo sát giá trị của \( A \) khi \( x \) tiến tới \( -3 \):

- Khi \( x \to -3^+ \) (tiến từ bên phải của -3):
\[
A \to \frac{5(-3) + 9}{-3 + 3} = \frac{-15 + 9}{0} \to -\infty
\]

- Khi \( x \to -3^- \) (tiến từ bên trái của -3):
\[
A \to \frac{5(-3) + 9}{-3 + 3} \to +\infty
\]

Từ đó, điều này cho thấy biểu thức không có giá trị nhỏ nhất trong miền xác định của nó. Tuy nhiên, giá trị của \( A \) sẽ có thể trở nên rất lớn hoặc rất nhỏ, tùy thuộc vào hướng \( x \) tiến tới \( -3 \).

Chúng ta có thể xem xét giới hạn của \( A \) tại các giá trị khác:

- Khi \( x \to \infty \):
\[
A \to 5
\]
- Khi \( x \to -\infty \):
\[
A \to 5
\]

Do đó, giá trị mà hàm tiến tới nhưng không bao giờ đạt được là \( 5 \). Kết luận, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) không tồn tại, nhưng có giới hạn \( 5 \) mà nó sẽ không bao giờ đạt tới.