Dùng các công thức cơ bản rút gọn các biểu thức sau

Để rút gọn các biểu thức trong bài, ta áp dụng một số công thức lượng giác cơ bản. Dưới đây là cách rút gọn từng biểu thức:

### 1) \( P = (1 - \sin^2 \alpha) \tan^2 \alpha + (1 - \cos^2 \alpha) \cot^2 \alpha \)

Sử dụng các công thức:

- \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \)
- \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \)

Thay vào biểu thức:

\[
P = \cos^2 \alpha \cdot \tan^2 \alpha + \sin^2 \alpha \cdot \cot^2 \alpha
\]

Nhớ rằng \( \tan^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \) và \( \cot^2 \alpha = \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha} \), ta được:

\[
P = \cos^2 \alpha \cdot \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \sin^2 \alpha \cdot \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}
\]

\[
P = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1
\]

### 2) \( C = \sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha \)

Sử dụng công thức tổng quát:

\[
\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha = (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha)^2 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

Vì \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \):

\[
C = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha
\]

Sử dụng \( \sin^2 2\alpha = 4\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha \):

\[
C = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha
\]

### 3) \( Q = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{1 - \sin^2 \alpha} \)

Sử dụng \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \):

\[
Q = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha}
\]

Và \( 1 + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 + \sin^2 \alpha \):

\[
Q = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha
\]

### Kết quả rút gọn:

1) \( P = 1 \)

2) \( C = 1 - 2\sin^2 \alpha \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2\alpha \)

3) \( Q = \frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \sec^2 \alpha + \tan^2 \alpha \)