Để chứng minh rằng

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{2})^4} + \frac{1}{(1-\sqrt{2})^4} = 34,
\]

ta bắt đầu tính từng biểu thức riêng lẻ.

### Bước 1: Tính \((1+\sqrt{2})^4\)

Sử dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

\[
(1 + \sqrt{2})^4 = \sum_{k=0}^{4} \binom{4}{k} (1)^{4-k} (\sqrt{2})^k = \binom{4}{0} (1)^4 + \binom{4}{1} (1)^3 (\sqrt{2}) + \binom{4}{2} (1)^2 (\sqrt{2})^2 + \binom{4}{3} (1)(\sqrt{2})^3 + \binom{4}{4} (\sqrt{2})^4
\]

Tính từng hệ số:

- \(\binom{4}{0} = 1\)
- \(\binom{4}{1} = 4\)
- \(\binom{4}{2} = 6\)
- \(\binom{4}{3} = 4\)
- \(\binom{4}{4} = 1\)

Thay vào biểu thức:

\[
= 1 + 4\sqrt{2} + 6\cdot2 + 4\cdot2^{3/2} + 2^2
\]
\[
= 1 + 4\sqrt{2} + 12 + 4\cdot2\sqrt{2} + 4
\]
\[
= 17 + 4\sqrt{2}(1 + 2) = 17 + 12\sqrt{2}.
\]

### Bước 2: Tính \((1-\sqrt{2})^4\)

Tương tự,

\[
(1 - \sqrt{2})^4 = (1 + \sqrt{2})^4 \text{ với } \sqrt{2} \text{ đổi dấu }
\]
Cũng sẽ cho kết quả tương tự, nhưng với \( -4\sqrt{2} \):

\[
= 17 - 12\sqrt{2}.
\]

### Bước 3: Tính tổng

Bây giờ, ta quay lại với tổng cần tính:

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{2})^4} + \frac{1}{(1-\sqrt{2})^4} = \frac{1}{17 + 12\sqrt{2}} + \frac{1}{17 - 12\sqrt{2}}.
\]

### Bước 4: Tính mẫu số chung

Mẫu số chung là:

\[
(17 + 12\sqrt{2})(17 - 12\sqrt{2}) = 17^2 - (12\sqrt{2})^2 = 289 - 288 = 1.
\]

### Bước 5: Tính tử số

Tử số là:

\[
(17 - 12\sqrt{2}) + (17 + 12\sqrt{2}) = 34.
\]

### Kết quả cuối cùng

Vì mẫu số là 1, ta có:

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{2})^4} + \frac{1}{(1-\sqrt{2})^4} = 34.
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{1}{(1+\sqrt{2})^4} + \frac{1}{(1-\sqrt{2})^4} = 34.
\]

Hoàn tất!