Cho ≺ là 1 quan hệ trên X={ 2, 3, 5, 12, 15, 45, 60, 120} xác định bởi: ∀x, y ∈ X, x ≺ y ↔ y = kx, k ∈ Z^+

Để chứng minh quan hệ \( \prec \) là một quan hệ thứ tự trên tập \( X = \{2, 3, 5, 12, 15, 45, 60, 120\} \), chúng ta cần chỉ ra rằng quan hệ này thỏa mãn ba tính chất cơ bản của một quan hệ thứ tự: phản xạ, đối xứng và truyền dẫn.

### a. Chứng minh rằng \( \prec \) là một quan hệ thứ tự

1. **Tính phản xạ**: Với mọi \( x \in X \), ta có \( x \prec x \) nếu \( x = kx \) với \( k \in \mathbb{Z}^+ \). Bình thường, ta có tất cả \( x > 0 \) khi \( k = 1 \). Do đó, tính phản xạ thỏa mãn.

2. **Tính phản đối xứng**: Quan hệ này không được đảm bảo là đối xứng, vì nếu \( x \prec y \) thì tồn tại \( k \in \mathbb{Z}^+ \) sao cho \( y = kx \). Điều này không đồng nghĩa với việc \( y \prec x \). Tuy nhiên, nếu \( x \prec y \) và \( y \prec x \) thì điều đó chỉ xảy ra khi \( x = y \). Vì vậy, tính đối xứng không thỏa mãn.

3. **Tính truyền dẫn**: Nếu \( x \prec y \) và \( y \prec z \), tức là \( y = k_1 x \) và \( z = k_2 y = k_2 k_1 x \) với \( k_1, k_2 \in \mathbb{Z}^+ \). Như vậy, \( z = k_1 k_2 x \) cũng nghĩa là \( x \prec z \). Tính truyền dẫn thỏa mãn.

Vì vậy, quan hệ này thỏa mãn tính chất phản xạ và truyền dẫn. Tuy nhiên, \( \prec \) không phải là một quan hệ thứ tự do không có tính đối xứng, nên thực tế nó chỉ là một quan hệ so sánh có chiều hướng (không có đối xứng).

### b. Vẽ biểu đồ Hasse

Biểu đồ Hasse thường được vẽ để biểu diễn quan hệ thứ tự trên một tập hợp. Trong trường hợp này, ta sẽ vẽ biểu đồ Hasse cho quan hệ \( \prec \). Để thuận tiện, ta sẽ trình bày ý tưởng về cách dựng biểu đồ và các cực trị:

1. Các phần tử của \( X \) được xếp chồng một cách thích hợp dựa trên mối quan hệ \( \prec \).
2. Một số quan hệ trong \( X \) sẽ như sau:
- \( 2 \prec 12 \), \( 2 \prec 60 \), \( 2 \prec 120 \)
- \( 3 \prec 15 \), \( 3 \prec 45 \), \( 3 \prec 60 \), \( 3 \prec 120 \)
- \( 5 \prec 15 \), \( 5 \prec 45 \), \( 5 \prec 60 \), \( 5 \prec 120 \)
- \( 12 \prec 60 \), \( 12 \prec 120 \)
- \( 15 \prec 60 \), \( 15 \prec 120 \)
- \( 45 \prec 120 \)

3. Tối đa và tối thiểu:
- **Max**: 120 (là phần tử lớn nhất).
- **Min**: 2 (là phần tử nhỏ nhất).
- **Sup**: 120 (tổng hợp các phần tử).
- **Inf**: 2 (là phần tử nhỏ nhất).

Do không thể vẽ trực tiếp trong văn bản này, bạn có thể sử dụng các phần mềm như Microsoft Word hoặc Visio để tạo biểu đồ Hasse này bằng cách cải tiến trên các phần tử đã được nêu.