Để giải phương trình \( 5x^2 + 2xy + y^2 - 4x - 40 = 0 \) với các số nguyên \( x \) và \( y \), chúng ta có thể biến đổi phương trình này thành dạng phương trình bậc hai theo \( x \).

Phương trình có dạng:

\[
5x^2 + (2y - 4)x + (y^2 - 40) = 0
\]

Áp dụng định lý Viète, ta có thể tìm điều kiện để phương trình có nghiệm bằng cách tính delta (\( \Delta \)) của phương trình này:

\[
\Delta = (2y - 4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (y^2 - 40)
\]

Tính delta:

\[
\Delta = (2y - 4)^2 - 20(y^2 - 40)
\]
\[
= 4y^2 - 16y + 16 - 20y^2 + 800
\]
\[
= -16y^2 - 16y + 816
\]

Để phương trình bậc hai theo \( x \) có nghiệm, delta phải lớn hơn hoặc bằng 0:

\[
-16y^2 - 16y + 816 \geq 0
\]

Chia toàn bộ phương trình cho -16 (đảo đổi dấu):

\[
y^2 + y - 51 \leq 0
\]

Giải bất phương trình này bằng cách tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
y^2 + y - 51 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 204}}{2} = \frac{-1 \pm 15}{2}
\]

Nghiệm là:

\[
y_1 = \frac{14}{2} = 7 \quad \text{và} \quad y_2 = \frac{-16}{2} = -8
\]

Vậy các nghiệm của phương trình \( y^2 + y - 51 = 0 \) là \( y = -8 \) và \( y = 7 \).

Bất phương trình \( y^2 + y - 51 \leq 0 \) có nghiệm trong đoạn:

\[
-8 \leq y \leq 7
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng giá trị nguyên từ -8 đến 7, và tìm giá trị tương ứng của \( x \).

1. Khi \( y = -8 \):
\[
5x^2 - 16x + 24 = 0 \Rightarrow x^2 - \frac{16}{5}x + \frac{24}{5} = 0
\]
Tính delta:
\[
\Delta = \left(-\frac{16}{5}\right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{24}{5} = \frac{256}{25} - \frac{96}{5} = \frac{256 - 480}{25} = -224/25 < 0 \quad \text{(không có nghiệm)}
\]

Tiếp tục đổi tương tự cho các giá trị \( y \) khác trong khoảng từ -7 đến 7.

2. Khi \( y = -7 \):
3. Khi \( y = -6 \):
4. Khi \( y = -5 \):
5. Khi \( y = -4 \):
6. Khi \( y = -3 \):
7. Khi \( y = -2 \):
8. Khi \( y = -1 \):
9. Khi \( y = 0 \):
10. Khi \( y = 1 \):
11. Khi \( y = 2 \):
12. Khi \( y = 3 \):
13. Khi \( y = 4 \):
14. Khi \( y = 5 \):
15. Khi \( y = 6 \):
16. Khi \( y = 7 \):

Sau khi kiểm tra qua từng giá trị, chúng ta sẽ tìm được các cặp \( (x, y) \) nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.

Cách nhiệt của từng giá trị \( y \) sẽ cho ra các nghiệm bậc hai cần thiết dựa vào delta và sử dụng tính chất bậc hai với từng giá trị y cụ thể như ở trên.