Gọi diện tích thửa ruộng là \( S \).

Theo đề bài:

- Diện tích dành để trồng rau là \( \frac{1}{2}S \).
- Diện tích dành để đào ao là \( \frac{1}{3}S \).
- Diện tích dành làm đường đi là phần còn lại, được cho là \( 30 m^2 \).

Ta có thể tính phần còn lại như sau:

\[
S - \left( \frac{1}{2}S + \frac{1}{3}S \right) = 30
\]

Để thực hiện phép tính này, trước tiên ta cần tìm chung mẫu số để cộng các phân số \( \frac{1}{2} \) và \( \frac{1}{3} \):

Chung mẫu số của \( 2 \) và \( 3 \) là \( 6 \):

\[
\frac{1}{2}S = \frac{3}{6}S
\]
\[
\frac{1}{3}S = \frac{2}{6}S
\]

Do đó,

\[
\frac{1}{2}S + \frac{1}{3}S = \frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S = \frac{5}{6}S
\]

Thay vào phương trình ban đầu:

\[
S - \frac{5}{6}S = 30
\]

Tính toán phần còn lại:

\[
\frac{1}{6}S = 30
\]

Bây giờ, chúng ta nhân hai vế với \( 6 \) để tìm \( S \):

\[
S = 30 \times 6 = 180 \, m^2
\]

Vậy, diện tích thửa ruộng của bác An là \( 180 \, m^2 \).