Cho tam giác đều ABC, mỗi cạnh có độ dài bằng a. Gọi O là một điểm bất kì ở trong tam giác. Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các điểm M,N,P sao cho OM//BC;ON//CA và OP//AB. Xác định vị trí của điểm O để tam giác MNP là tam giác đều

Để xác định vị trí của điểm \( O \) sao cho tam giác \( MNP \) là tam giác đều, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất của tam giác đều và cách mà các điểm \( M, N, P \) được định nghĩa dựa trên \( O \).

1. **Xác định vị trí của điểm O**:
- Giả sử \( ABC \) là tam giác đều với các cạnh có chiều dài \( a \).
- Chúng ta có \( OM \parallel BC \), \( ON \parallel CA \), và \( OP \parallel AB \). Điều này nghĩa là \( M, N, P \) được lấy trên các cạnh \( AB, BC, CA \) sao cho hướng đi của các đoạn thẳng từ \( O \) tới các điểm này song song với các cạnh của tam giác.

Để \( MNP \) là tam giác đều, điểm \( O \) phải nằm tại điểm trung tâm của tam giác đều \( ABC \), tức là trung điểm của tam giác. Điểm này được xem là điểm trọng tâm \( G \) của tam giác, và với tam giác đều có thể được xác định chính xác bằng trọng tâm làm cho tỉ lệ các đoạn thẳng từ \( O \) tới các cạnh bằng nhau.

2. **Tính chu vi của tam giác MNP**:
- Khi \( O \) là trọng tâm, các cạnh của tam giác \( MNP \) sẽ được hình thành theo tỉ lệ đồng đều với chiều dài cạnh của tam giác \( ABC \).
- Ta có thể sử dụng tỉ lệ giữa cạnh của tam giác đều \( ABC \) và cạnh của tam giác \( MNP \) để tính chu vi.

Giả sử tỉ lệ từ \( O \) đến các cạnh là \( k \). Theo đó, độ dài cạnh của tam giác \( MNP \) sẽ bằng \( \frac{a}{2} \) (tức là 1/2 chiều dài cạnh của tam giác lớn).
- Do đó, độ dài cạnh của tam giác đều \( MNP \) là \( \frac{a}{2} \), và chu vi của tam giác đều \( MNP \) sẽ là:
\[
P_{MNP} = 3 \cdot \frac{a}{2} = \frac{3a}{2}.
\]

Tóm lại, để tam giác \( MNP \) là tam giác đều, \( O \) cần nằm tại trọng tâm của tam giác đều \( ABC \) và chu vi của tam giác \( MNP \) sẽ là \( \frac{3a}{2} \).