Tìm đa thức

Để tìm đa thức \( f(x) \) thỏa mãn các điều kiện trong bài toán, ta có thể xử lý từng yêu cầu một.

1. **Tìm đa thức \( f(x) \) sao cho \( f(x) \) chia cho \( x - 1 \) có dư 0:**

Điều này có nghĩa là \( x - 1 \) là ước của \( f(x) \), tức là:
\[
f(1) = 0
\]

2. **Chia \( f(x) \) cho \( x + 1 \) có dư 3:**

Điều này có thể biểu diễn bằng:
\[
f(-1) = 3
\]

3. **Chia \( f(x) \) cho \( x^2 - 1 \) có dư:**

Ta biết rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \). Với điều này, có thể viết:
\[
f(x) = (x^2 - 1)Q(x) + R(x)
\]
với \( R(x) \) là đa thức bậc thấp hơn bậc của \( x^2 - 1 \) (tức là bậc 1 hoặc thấp hơn). Giả sử \( R(x) = ax + b \).

Từ \( f(1) = 0 \) và \( f(-1) = 3 \), ta có hệ phương trình:
- Tại \( x = 1 \):
\[
a(1) + b = 0 \implies a + b = 0 \quad \text{(1)}
\]
- Tại \( x = -1 \):
\[
a(-1) + b = 3 \implies -a + b = 3 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2):
1. Từ (1): \( b = -a \)
2. Thay vào (2):
\[
-a - a = 3 \implies -2a = 3 \implies a = -\frac{3}{2}
\]
\[
b = -a = \frac{3}{2}
\]

Vậy, đa thức dư \( R(x) \) là:
\[
R(x) = -\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}
\]

Cuối cùng, tổng quát đa thức có dạng:
\[
f(x) = (x^2 - 1)Q(x) - \frac{3}{2}x + \frac{3}{2}
\]
với \( Q(x) \) là bất kỳ đa thức nào.

Nên yêu cầu cuối cùng sẽ là kiểm tra xem có tồn tại \( 3x \) cùng với các điều kiện đã cho không; từ đó có thể kết luận.