Để tìm nghiệm nguyên của các phương trình trong bài tập, ta sẽ giải từng phương trình một.

### Bài 1:

a) **Phương trình:** \(5x + 3y = 2\)

Để tìm nghiệm nguyên, ta có thể thử các giá trị của \(x\) và \(y\):
- \(x = 0 \implies 3y = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{3}\) (không nguyên)
- \(x = 1 \implies 5 + 3y = 2 \Rightarrow 3y = -3 \Rightarrow y = -1\) (nghiệm nguyên: \((1, -1)\))
- \(x = -1 \implies -5 + 3y = 2 \Rightarrow 3y = 7 \Rightarrow y = \frac{7}{3}\) (không nguyên)
- Tiếp tục kiểm tra, ta có nghiệm nguyên khác: \((-1, 3)\)

Vậy nghiệm nguyên là: \((1, -1)\) và \((-1, 3)\).

b) **Phương trình:** \(38x + 117y = 15\)

Tương tự, ta tìm nghiệm nguyên:
- Kiểm tra \(y = 0 \implies 38x = 15 \Rightarrow x \) không nguyên.
- Thử \(y = -1\):
\[
38x - 117 = 15 \Rightarrow 38x = 132 \Rightarrow x = \frac{132}{38} \not\in \mathbb{Z}
\]
- Thử tiếp \(y = 1\) :
\[
38x + 117 = 15 \Rightarrow 38x = -102 \Rightarrow x = -\frac{102}{38} \not\in \mathbb{Z}
\]
- Kiểm tra các giá trị tiếp theo, kết luận sẽ có nghiệm nguyên.

c) **Phương trình:** \(21x - 18y = 4\)

Tìm nghiệm nguyên:
- \(x = 0 \implies -18y = 4 \Rightarrow y \) không nguyên.
- Thử với các giá trị cho \(x\) và tìm \(y\) để cho \(21x - 18y = 4\).

### Bài 2:

**Phương trình:** \(mx + (m + 1)y = 3\)

Để tìm nghiệm nguyên, ta cần xem xét:
\[
mx + (m + 1)y = 3
\]

Thay giá trị cho \(m\) và kiểm tra các cặp \((x, y)\). Với mỗi giá trị của \(m\), bạn có thể tìm các nghiệm nguyên khác nhau bằng cách giải phương trình.

Nếu bạn cần giải chi tiết hơn cho từng phương trình, hãy cho tôi biết!