Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB)

Để chứng minh các phần của bài toán, chúng ta sẽ dùng các tính chất của tam giác và hình học phẳng.

### a) Chứng minh tam giác ABD = tam giác ACE

Để chứng minh hai tam giác ABD và ACE là bằng nhau, ta cần chỉ ra rằng các yếu tố của chúng tương ứng bằng nhau.

- **Cạnh chung**: Ta có đoạn DA = EA (vì tam giác ABC là tam giác cân tại A).
- **Góc**: Ta có góc ADB = góc AEC (góc vuông, do BD và CE là đường cao).
- **Cạnh**: Cạnh AB = AC (vì tam giác ABC là tam giác cân tại A).

Vì vậy, theo chứng minh bằng tiêu chuẩn (cạnh - góc - cạnh), ta có:
\[
\Delta ABD \cong \Delta ACE
\]

### b) Chứng minh tam giác GDE cân

Gọi G là giao điểm của hai đường cao BD và CE trong tam giác ABC.

Vì tam giác ABD và ACE bằng nhau (đã chứng minh ở phần a), ta suy ra nhanh chóng rằng:

- **Góc GDB = Góc GEC** (góc chung của hai tam giác ABD và ACE).
- **Cạnh GD = GE** (cạnh tương ứng trong hai tam giác bằng nhau, từ kết quả của hai tam giác cân).

Vì vậy, ta có:
\[
\Delta GDE \text{ là tam giác cân}
\]

### c) Chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân

Để chứng minh tứ giác BEDC là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và hai góc ở đáy cũng bằng nhau.

- **Cạnh**: Ta đã chứng minh GDE là tam giác cân, do đó:
- GE = GD.
- Trong tứ giác BEDC:
- BE = CD (điều này đến từ tính chất tam giác ABC, và từ hai tam giác ABD và ACE đã được chứng minh là bằng nhau).

- **Góc**: Ta có:
- Góc BGE và góc DGE bằng nhau (vì chúng là hai góc ở cùng một điểm giao nhau của hai đường cao).

Vì tứ giác BEDC có hai cạnh đối diện bằng nhau (BE = CD) và góc tương ứng bằng nhau (góc BGE = góc DGE), ta kết luận rằng tứ giác BEDC là hình thang cân.

### Kết luận

Từ các phần đã chứng minh, ta đã hoàn thành bài toán bằng cách chứng minh các mệnh đề cần thiết trong tam giác ABC và các yếu tố liên quan đến giao điểm của các đường cao.