Để phân tích hàm số \( y = \sqrt{2x^2 + 1} \), ta sẽ tính đạo hàm của hàm này và xác định tính đồng biến, nghịch biến.

### Bước 1: Tính đạo hàm

Áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm bậc hai và quy tắc chuỗi:

\[
y' = \frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x^2 + 1}\right) = \frac{1}{2\sqrt{2x^2 + 1}} \cdot (4x) = \frac{2x}{\sqrt{2x^2 + 1}}
\]

### Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm

1. **Trên khoảng \( (0; +\infty) \)**:
- \( 2x > 0 \) (x dương) ⇒ \( y' > 0 \) ⇒ hàm số đồng biến.

2. **Trên khoảng \( (-\infty; 0) \)**:
- \( 2x < 0 \) (x âm) ⇒ \( y' < 0 \) ⇒ hàm số nghịch biến.

### Bước 3: Đánh giá các mệnh đề
- A. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \) → Đúng
- B. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty; 0) \) → Sai
- C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (0; +\infty) \) → Sai
- D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 0) \) → Đúng

### Kết luận

Mệnh đề đúng là:
- **A. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (0; +\infty) \)**
- **D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 0) \)**

Như vậy, câu đúng của bài này là **A** và **D**.