Tìm số nguyên x; y, biết 2/x + y/2 = 5/2

Để tìm số nguyên \(x\) và \(y\) thỏa mãn phương trình:

\[
\frac{2}{x} + \frac{y}{2} = \frac{5}{2}
\]

Trước tiên, chúng ta sẽ biến đổi phương trình này. Nhân tất cả các hạng tử với \(2x\) để loại bỏ mẫu số:

\[
2 \cdot 2 + y \cdot x = 5x
\]

Điều này đơn giản hóa thành:

\[
4 + yx = 5x
\]

Chúng ta có thể sắp xếp lại thành:

\[
yx = 5x - 4
\]

Từ đây, chúng ta có thể viết:

\[
y = \frac{5x - 4}{x} \quad (x \neq 0)
\]

Bây giờ, để \(y\ là một số nguyên, \(5x - 4\) phải chia hết cho \(x\). Ta xem xét các giá trị của \(x\):

1. **Khi \(x = 1\)**:
\[
y = \frac{5(1) - 4}{1} = \frac{1}{1} = 1
\]
Ta có một nghiệm: \( (1, 1) \).

2. **Khi \(x = 2\)**:
\[
y = \frac{5(2) - 4}{2} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]
Ta có một nghiệm: \( (2, 3) \).

3. **Khi \(x = 3\)**:
\[
y = \frac{5(3) - 4}{3} = \frac{15 - 4}{3} = \frac{11}{3} \quad (không phải là số nguyên)
\]

4. **Khi \(x = 4\)**:
\[
y = \frac{5(4) - 4}{4} = \frac{20 - 4}{4} = \frac{16}{4} = 4
\]
Ta có một nghiệm: \( (4, 4) \).

5. **Khi \(x = 5\)**:
\[
y = \frac{5(5) - 4}{5} = \frac{25 - 4}{5} = \frac{21}{5} \quad (không phải là số nguyên)
\]

6. **Khi \(x = 6\)**:
\[
y = \frac{5(6) - 4}{6} = \frac{30 - 4}{6} = \frac{26}{6} = \frac{13}{3} \quad (không phải là số nguyên)
\]

7. **Khi \(x = 7\)**:
\[
y = \frac{5(7) - 4}{7} = \frac{35 - 4}{7} = \frac{31}{7} \quad (không phải là số nguyên)
\]

Tiếp tục như vậy, ta có thể tìm ra các giá trị khác cho \(x\):

**Khi tường x là số âm**:
1. **Khi \(x = -1\)**:
\[
y = \frac{5(-1) - 4}{-1} = \frac{-5 - 4}{-1} = \frac{-9}{-1} = 9
\]
Ta có một nghiệm: \( (-1, 9) \).

2. **Khi \(x = -2\)**:
\[
y = \frac{5(-2) - 4}{-2} = \frac{-10 - 4}{-2} = \frac{-14}{-2} = 7
\]
Ta có một nghiệm: \( (-2, 7) \).

3. **Khi \(x = -4\)**:
\[
y = \frac{5(-4) - 4}{-4} = \frac{-20 - 4}{-4} = \frac{-24}{-4} = 6
\]
Ta có một nghiệm: \( (-4, 6) \).

4. **Khi \(x = -5\)**:
\[
y = \frac{5(-5) - 4}{-5} = \frac{-25 - 4}{-5} = \frac{-29}{-5} \quad (không phải là số nguyên)
\]

Vì vậy, những nghiệm nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình ban đầu là:

- \( (1, 1) \)
- \( (2, 3) \)
- \( (4, 4) \)
- \( (-1, 9) \)
- \( (-2, 7) \)
- \( (-4, 6) \)

Vậy tập hợp các nghiệm nguyên là:

\[
\{(1, 1), (2, 3), (4, 4), (-1, 9), (-2, 7), (-4, 6)\}
\]