Tìm tất cả các số nguyên dương (x;y) thỏa mãn phương trình sau

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên dương \((x, y)\) thỏa mãn phương trình:

\[
(x + y)^3 = 27y^2
\]

**Bước 1: Biến đổi phương trình**

Chúng ta có thể viết lại phương trình như sau:

\[
(x + y)^3 - 27y^2 = 0
\]

**Bước 2: Đặt \( s = x + y \)**

Do đó, có thể đổi phương trình thành:

\[
s^3 = 27y^2
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
s^3 = 27y^2 \implies s^3 = (3y)^2
\]

**Bước 3: Xét điều kiện**

Đặt \(t = 3y\), ta có phương trình:

\[
s^3 = t^2
\]

**Bước 4: Tìm các giá trị khả thi**

Vì \(s\) và \(t\) đều là các số nguyên dương, phương trình này gợi ý rằng \(s\) phải là một số nguyên dương sao cho \(s^3\) là một số chính phương. Điều này có nghĩa là:

\[
s = k^2 \text{ với } k \text{ là số nguyên dương}
\]

**Bước 5: Thay lại vào phương trình**

Thay \(s = k^2\) vào phương trình:

\[
k^6 = t^2
\]

Vậy \(t = k^3\). Từ đây, ta có:

\[
3y = k^3 \implies y = \frac{k^3}{3}
\]

Để \(y\) là số nguyên dương, \(k\) phải chia hết cho 3. Đặt \(k = 3m\) với \(m \in \mathbb{Z}^+\):

\[
y = 3m^3
\]

Và \(s\) trở thành:

\[
s = (3m)^2 = 9m^2
\]

**Bước 6: Tìm x**

Vì \(s = x + y\), ta có:

\[
x + 3m^3 = 9m^2 \implies x = 9m^2 - 3m^3 = 3m(3m - m^2)
\]

**Bước 7: Xét điều kiện dương**

Để \(x\) là số nguyên dương:

\[
3m(3m - m^2) > 0 \implies m(3 - m) > 0
\]

Điều này có nghĩa là \(m\) phải nằm trong khoảng \(0 < m < 3\). Vì \(m\) là số nguyên dương, suy ra \(m = 1\) hay \(m = 2\).

**Giá trị của \(m\)**:

1. Nếu \(m = 1\):
- \(y = 3(1^3) = 3\)
- \(x = 3(1)(3 - 1) = 6\)
- \((x, y) = (6, 3)\)

2. Nếu \(m = 2\):
- \(y = 3(2^3) = 24\)
- \(x = 3(2)(3 - 2^2) = 0\) (không hợp lệ vì \(x\) không dương)

**Kết luận**:

Cặp duy nhất thỏa mãn phương trình là \((6, 3)\).

Vậy ta có cặp số nguyên dương \((x, y) = (6, 3)\).