Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần phân tích các thông tin đã cho và áp dụng định luật khí lý tưởng.

1. **Thông tin đã cho**:
- Số mol khí ở phần trên (n₁) = 1 mol
- Số mol khí ở phần dưới (n₂) = 2 mol
- Nhiệt độ phần trên (T₁) = T₀ = 300 K
- Áp suất phần dưới (P₂) bằng ba lần áp suất phần trên (P₁): \( P₂ = 3P₁ \)

2. **Áp dụng định luật khí lý tưởng**:
\[
P = \frac{nRT}{V}
\]
Trong đó:
- P là áp suất
- n là số mol
- R là hằng số khí (8.314 J/(mol·K))
- T là nhiệt độ
- V là thể tích

3. **Áp suất ở phần trên**:
Áp suất ở phần trên (P₁):
\[
P₁ = \frac{n₁ R T₁}{V₁} = \frac{1 \cdot R \cdot 300}{V₁}
\]

4. **Áp suất ở phần dưới**:
Áp suất ở phần dưới (P₂):
\[
P₂ = \frac{n₂ R T₂}{V₂} = \frac{2 \cdot R \cdot T₂}{V₂}
\]

5. **Thay thế P₂ = 3P₁**:
\[
\frac{2R T₂}{V₂} = 3 \cdot \frac{R \cdot 300}{V₁}
\]

Giả sử V₁ và V₂ là thể tích phần trên và phần dưới, không thay đổi và không cần biết giá trị cụ thể, chúng ta có:
\[
\frac{2 T₂}{V₂} = \frac{900}{V₁} \implies 2 T₂ = 900 \cdot \left( \frac{V₂}{V₁} \right)
\]

Từ đó, áp suất sẽ là cùng một hằng số V với các thể tích khác nhau, đồng thời cũng sẽ cho thấy hợp lệ với định luật Gay-Lussac:

6. **Nguyên tắc cân bằng áp suất & thể tích**:
Khi pittong nằm giữa, phần khí trên và dưới sẽ có cùng áp suất:
\[
P₁ = P₂ \implies \frac{1 \cdot R \cdot 300}{V₁} = \frac{2R \cdot T₂}{V₂}
\]

Với sự cho trước, khi hai áp suất bằng nhau, áp suất phần dưới đảm bảo thực thi tỉ lệ thuận do khí nở ra tương ứng với số mol.

7. **Kết luận**:
Để có thể tính toán nhiệt độ (T₂), ta sau cùng cần giải biểu thức chi tiết về T₁ và T₂.

8. **Tính T₂**:
Sử dụng tính toán theo \(T₂ = \frac{3 \cdot 300 \cdot V₁}{2 \cdot V₂}\). Do đó T₂ phải được gia tăng một phần tương ứng để kiểm nghiệm mục tiêu đạt propane.

Vậy cho đến khi đạt tiêu chuẩn cân bằng của pittong, nhiệt độ dưới (T₂) cần tăng lên thành công cho:

\[
T₂ = 450 \, K \Rightarrow \Delta T = T₂ - T₁ = 450 K - 300 K = 150 K
\]

Vậy, nhiệt độ phần dưới cần tăng lên 150 K để pittong nằm giữa bình.

### Đáp án:
Phần dưới cần tăng lên 150 K.