Để chứng minh rằng các biểu thức đã cho luôn dương với mọi giá trị của \(x\), chúng ta sẽ kiểm tra các biểu thức đó bằng việc tính nghiệm của chúng qua định lý về phương trình bậc 2.

### a) \(x^2 - 6x + 11\)

Để kiểm tra tính dương của biểu thức này, chúng ta tính giá trị của discriminant (\(D\)):

\[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 36 - 44 = -8
\]

Vì \(D < 0\), phương trình \(x^2 - 6x + 11 = 0\) không có nghiệm thực. Điều này có nghĩa là biểu thức này luôn dương trên mọi giá trị của \(x\).

Chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này. Theo định lý về giá trị nhỏ nhất của một hàm bậc 2, giá trị nhỏ nhất xảy ra tại \(x = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3\):

\[
f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 11 = 9 - 18 + 11 = 2
\]

Do đó, \(x^2 - 6x + 11 \geq 2 > 0\) với mọi \(x\).

### b) \(x^2 + 3x + 3\)

Tương tự, chúng ta cũng tính giá trị của discriminant (\(D\)):

\[
D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3
\]

Vì \(D < 0\), phương trình \(x^2 + 3x + 3 = 0\) cũng không có nghiệm thực, nghĩa là biểu thức này cũng luôn dương trên mọi giá trị của \(x\).

Ta cũng có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2} = -1.5
\]

Tính giá trị tại điểm này:

\[
f\left(-\frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2 + 3 \cdot \left(-\frac{3}{2}\right) + 3 = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} + 3 = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} + \frac{12}{4} = \frac{3}{4}
\]

Từ đó, \(x^2 + 3x + 3 \geq \frac{3}{4} > 0\) với mọi \(x\).

### Kết luận

Cả hai biểu thức \(x^2 - 6x + 11\) và \(x^2 + 3x + 3\) đều luôn dương với mọi giá trị của \(x\).