Để chứng minh rằng tứ giác ADKE là hình bình hành, ta sẽ chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này là song song và bằng nhau.

1. **Các giả thiết:**
- Tam giác ABC có đỉnh A và hai cạnh AB, AC.
- Điểm D nằm trên cạnh AB, điểm E nằm trên cạnh AC sao cho \(AD = CE\).
- O là trung điểm của đoạn thẳng DE.
- K là giao điểm của AO với BC.

2. **Chứng minh rằng ADKE là hình bình hành:**
- Từ O là trung điểm của DE, ta có:
\[
OD = OE
\]
- Ta cần chứng minh \(AD\) song song với \(KE\) và \(AE\) song song với \(DK\).

3. **Lập phương trình nhìn từ O:**
- Nhận thấy rằng AB và AC là hai cạnh của tam giác cân. Do đó, \(AB = AC\).
- Khi vẽ đoạn AO, vì O là trung điểm của DE, ta có:
- Xét tam giác ADE và tam giác CEK.
- Theo giả thiết, ta có \(AD = CE\).
- Hơn nữa, vì D nằm trên AB và E nằm trên AC, nên:
- Góc ADB = Góc AEC (vì tam giác ABC cân).
- Tiếp theo, bởi vì O là trung điểm, chúng ta có:
\[
AO \parallel DE
\]
Điều này dẫn đến:
\[
AD \parallel KE
\]

4. **Chứng minh AD = KE:**
- Từ giả thiết \(AD = CE\) và \(OE = OD\), ta có \(DE = AD + OE\).
- Bởi vì O là trung điểm của DE:
\[
O \text{ là trung điểm của DE } \Rightarrow DE = DE
\]

5. **Xét hai cặp cạnh song song và bằng nhau:**
- Ta đã có:
\[
AD \parallel KE \text{ và } AD = KE,
\]
\[
AE \parallel DK \text{ và } AE = DK.
\]

6. **Kết luận:**
- Với các tính chất trên, trong tứ giác ADKE, chúng ta có hai cặp cạnh đối diện vừa song song vừa bằng nhau.
- Do đó, ADKE là một hình bình hành.

Vậy ta đã chứng minh rằng tứ giác ADKE là hình bình hành.