Để chứng minh rằng \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \) trong tam giác cân \( ABC \) tại \( M \) với đường cao \( AH \), ta có thể thực hiện như sau:

1. **Khái niệm ban đầu**: Gọi \( AB = AC = c \) (do \( ABC \) là tam giác cân), \( AM = x \), \( AN = y \) và \( AH = h \).

2. **Tính chiều cao**: Vì \( H \) là chân đường cao, ta có:
- \( AH \) vuông góc với \( BC \).
- Cả hai tam giác \( AHB \) và \( AHC \) đều là tam giác vuông.

3. **Sử dụng định lý Pitago**:
- Từ tam giác vuông \( AHB \), ta có:
\[
AB^2 = AM^2 + AH^2 \implies c^2 = x^2 + h^2.
\]
- Từ tam giác vuông \( AHC \), ta có:
\[
AC^2 = AN^2 + AH^2 \implies c^2 = y^2 + h^2.
\]

4. **Đặt phương trình**: Từ hai phương trình trên, ta có:
\[
AM^2 = c^2 - h^2 \quad (1)
\]
\[
AN^2 = c^2 - h^2 \quad (2)
\]

5. **So sánh hai phương trình**: Từ (1) và (2), có:
\[
c^2 - x^2 = c^2 - y^2 \implies x^2 = y^2.
\]

6. **Tính tích**:
- Từ định lý sin trong tam giác \( AMH \) và \( ANH \):
- Trong tam giác \( AHB \), ta có:
\[
\frac{AM}{AH} = \frac{AB}{AC} \implies \frac{x}{h} = \frac{c}{c} = 1 \implies x = h.
\]
- Trong tam giác \( AHC \), cùng nguyên lý, ta có \( y = h \).

7. **Suy ra**: Sử dụng tỉ số đã có và xây dựng lại, ta cần cùng chứng minh:
\[
AB \cdot AM = c \cdot x \quad \text{và} \quad AC \cdot AN = c \cdot y.
\]
Mà \( AM \) và \( AN \) đều có giá trị bằng nhau.

Cuối cùng, từ \( x = AM \) và \( y = AN \) dẫn đến kết quả \( AB \cdot AM = AC \cdot AN \).

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:
\[
AB \cdot AM = AC \cdot AN.
\]