Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một.

### a) Tính độ dài \( BC \) và \( AH \)

1. **Tính \( BC \)**:

Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông \( ABC \):
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
Thay giá trị vào:
\[
4^2 = 3^2 + BC^2
\]
\[
16 = 9 + BC^2
\]
\[
BC^2 = 16 - 9 = 7 \implies BC = \sqrt{7} \text{ cm}
\]

2. **Tính \( AH \)**:

Sử dụng công thức tính diện tích để tìm chiều cao \( AH \). Diện tích của tam giác \( ABC \) có thể tính bằng hai cách:
- Sử dụng cạnh \( BC \) và chiều cao \( AH \):
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH
\]
- Sử dụng cạnh \( AB \) và cạnh \( AC \):
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \text{ cm}^2
\]

Do đó, ta có:
\[
6 = \frac{1}{2} \times \sqrt{7} \times AH
\]
\[
12 = \sqrt{7} \times AH \implies AH = \frac{12}{\sqrt{7}} = \frac{12\sqrt{7}}{7} \text{ cm}
\]

### b) Tính số đo góc \( B \) và \( C \)

- Sử dụng công thức tang để tính góc \( B \):
\[
\tan B = \frac{AH}{AB} = \frac{\frac{12\sqrt{7}}{7}}{3} = \frac{4\sqrt{7}}{7}
\]
Từ đó, ta có:
\[
B \approx \tan^{-1} \left(\frac{4\sqrt{7}}{7}\right)
\]

- Tương tự, sử dụng công thức tang để tính góc \( C \):
\[
\tan C = \frac{AH}{AC} = \frac{\frac{12\sqrt{7}}{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{7}
\]
Từ đó, ta có:
\[
C \approx \tan^{-1} \left(\frac{3\sqrt{7}}{7}\right)
\]

### c) Đường phân giác trong góc \( A \) cắt \( BC \) tại \( E \), tính \( BE \) và \( CE \)

- Theo định lý phân giác, ta có:
\[
\frac{BE}{CE} = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{4}
\]

- Gọi \( BE = 3k \) và \( CE = 4k \). Khi đó:
\[
BE + CE = BC \implies 3k + 4k = \sqrt{7} \implies 7k = \sqrt{7} \implies k = \frac{\sqrt{7}}{7}
\]

- Do đó:
\[
BE = 3k = 3 \times \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{3\sqrt{7}}{7} \text{ cm}
\]
\[
CE = 4k = 4 \times \frac{\sqrt{7}}{7} = \frac{4\sqrt{7}}{7} \text{ cm}
\]

### Kết luận
- \( BC = \sqrt{7} \) cm
- \( AH = \frac{12\sqrt{7}}{7} \) cm
- \( B \) và \( C \) có thể tính bằng máy tính cầm tay.
- \( BE = \frac{3\sqrt{7}}{7} \) cm và \( CE = \frac{4\sqrt{7}}{7} \) cm.