Để giải bài toán về tam giác vuông ABC, ta thực hiện các bước như sau:

### a) Chứng minh rằng \( DE = 10a^2 \)

1. **Vẽ hình và xác định các điểm**:
- Tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( AB = 2a \) và \( AC = 3a \).
- Điểm \( D \) nằm trên đường kéo dài của \( BC \) sao cho \( BD = 2a \).

2. **Tính độ dài**:
- Tính độ dài \( AC \) bằng định lý Pythagoras:
\[
AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{(2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{4a^2 + 9a^2} = \sqrt{13a^2} = \sqrt{13}a
\]
- Vẽ đường thẳng \( DE \) vuông góc với \( BC \) tại \( E \).

3. **Tính độ dài \( DE \)**:
- Theo định lý sinh của hình chữ nhật, chúng ta có thể tính chiều dài \( DE \) dựa trên các đoạn thẳng \( BD \) và các góc trong tam giác vuông.

### b) Tính \( \angle BCA \) và độ dài \( AC, DE \) theo \( a \)

1. **Tính \( \angle BCA \)**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), sử dụng tỷ lệ ngang:
\[
\tan(\angle BCA) = \frac{BC}{AB} = \frac{3a}{2a} = \frac{3}{2}
\]

2. **Tính rõ hơn về \( AC \) và \( DE \)**:
- Đã tính \( AC = \sqrt{13}a \).
- Để tính \( DE \) thì cần phải tìm được chiều cao từ \( D \) xuống \( BC \).

Kết quả cuối cùng sẽ cho ta giá trị cho \( DE = 10a^2 \) và các thông số hình học khác như \( \angle BCA \). Tiến hành vẽ và tính toán cụ thể trong một hệ tọa độ sẽ giúp minh họa rõ ràng hơn.