Để chứng minh rằng tứ giác \( MDEQ \) là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh rằng \( MD \) song song và bằng \( EQ \) cũng như \( ME \) song song và bằng \( DQ \).

1. **Xác định các điểm:**
- \( M \) và \( N \) là hai đỉnh của hình bình hành \( MNPQ \).
- \( P \) và \( Q \) là hai đỉnh còn lại của hình bình hành.
- \( D \) là trung điểm của \( MN \).
- \( E \) là trung điểm của \( PQ \).

2. **Tính chất của hình bình hành:**
- Trong hình bình hành \( MNPQ \), các cạnh đối diện bằng nhau và song song:
- \( MN \parallel PQ \) và \( MP \parallel NQ \).
- \( MN = PQ \) và \( MP = NQ \).

3. **Chứng minh \( MD \parallel EQ \) và \( MD = EQ \):**
- Vì \( D \) là trung điểm của \( MN \) nên \( MD = \frac{1}{2} MN \).
- Vì \( E \) là trung điểm của \( PQ \) nên \( EQ = \frac{1}{2} PQ \).
- Do \( MN \parallel PQ \) nên \( MD \parallel EQ \) (cạnh của một hình bình hành song song với cạnh đối diện).

4. **Chứng minh \( ME \parallel DQ \) và \( ME = DQ \):**
- Tương tự, ta có \( ME = \frac{1}{2} MP \) và \( DQ = \frac{1}{2} NQ \).
- Do \( MP \parallel NQ \) nên \( ME \parallel DQ \).

5. **Kết luận:**
- Từ những điều đã chỉ ra, ta có:
- \( MD \parallel EQ \) và \( MD = EQ \)
- \( ME \parallel DQ \) và \( ME = DQ \)
- Theo định nghĩa của hình bình hành, tứ giác \( MDEQ \) có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau.

Vì vậy, tứ giác \( MDEQ \) là hình bình hành.