Chúng ta có phương trình:

\[
(x+y)^5 = 120y + 3
\]

Để tìm các số nguyên không âm \( x \) và \( y \), chúng ta sẽ tiến hành phân tích và giải phương trình này.

Đầu tiên, ta đặt \( S = x + y \). Vậy thì phương trình trở thành:

\[
S^5 = 120y + 3
\]

Hay có thể viết lại dưới dạng:

\[
S^5 - 3 = 120y
\]

Điều này có nghĩa là \( S^5 - 3 \) phải chia hết cho 120.

Bây giờ chúng ta thử các giá trị của \( S \) từ 1 trở đi cho đến khi \( S^5 \) lớn hơn 3:

- Khi \( S = 1 \):

\[
1^5 - 3 = 1 - 3 = -2 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

- Khi \( S = 2 \):

\[
2^5 - 3 = 32 - 3 = 29 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

- Khi \( S = 3 \):

\[
3^5 - 3 = 243 - 3 = 240 \quad (240 chia hết cho 120, \( 240 = 120 \times 2 \))
\]

Với \( S = 3 \), ta có:

\[
120y = 240 \implies y = 2
\]

Vậy \( x + y = S \implies x + 2 = 3 \implies x = 1 \).

Kiểm tra lại với \( x = 1 \) và \( y = 2 \):

\[
(1 + 2)^5 = 3^5 = 243
\]

Và:

\[
120y + 3 = 120 \times 2 + 3 = 240 + 3 = 243
\]

Điều này thỏa mãn phương trình ban đầu.

Giá trị \( (x, y) = (1, 2) \).

Bây giờ ta kiểm tra với các giá trị \( S \) lớn hơn 3 để tìm các nghiệm khác nếu có:

- Khi \( S = 4 \):

\[
4^5 - 3 = 1024 - 3 = 1021 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

- Khi \( S = 5 \):

\[
5^5 - 3 = 3125 - 3 = 3122 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

- Khi \( S = 6 \):

\[
6^5 - 3 = 7776 - 3 = 7773 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

- Khi \( S = 7 \):

\[
7^5 - 3 = 16807 - 3 = 16804 \quad (không phải là bội số của 120)
\]

Những giá trị từ \( S = 4 \) đến \( S = 7 \) đều không cho ra bội số của 120. Tiếp tục thử với các giá trị lớn hơn sẽ mất nhiều thời gian và dường như không có nghiệm nào khác cho đến khi giá trị của \( S \) vượt quá 3.

Do đó, nghiệm duy nhất của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, 2)
\]