Cho số hữu tỉ a/b với a, b thuộc Z. Chứng minh rằng

Để chứng minh các điều trong bài toán với số hữu tỉ \( \frac{a}{b} \) (với \( a, b \in \mathbb{Z} \) và \( b > 0 \)), ta sẽ xem xét từng trường hợp như sau:

1. **Nếu có \( \frac{a}{b} > 1 \) thì \( a > b \):**
- Bằng cách nhân hai vế với \( b \) (vì \( b > 0 \)), ta có:
\[
a > b \implies \frac{a}{b} > 1
\]
Do đó, điều này đúng.

2. **Nếu có \( \frac{a}{b} < 1 \) thì \( a < b \):**
- Tương tự, nhân hai vế với \( b \):
\[
a < b \implies \frac{a}{b} < 1
\]
Điều này cũng đúng.

3. **Nếu có \( a = b \) thì \( \frac{a}{b} = 1 \):**
- Rõ ràng:
\[
a = b \implies \frac{a}{b} = 1
\]

4. **Nếu có \( a > b, c \geq 0 \) thì \( \frac{a+c}{b+c} > 1 \):**
- Ta có:
\[
a + c > b + c \implies \frac{a+c}{b+c} > 1
\]

5. **Nếu có \( a < b, c \geq 0 \) thì \( \frac{a+c}{b+c} < 1 \):**
- Tương tự, ta có:
\[
a + c < b + c \implies \frac{a+c}{b+c} < 1
\]

6. **Nếu có \( a > b, c > 0 \) thì \( \frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b} \):**
- Với \( c > 0 \), ta có:
\[
\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} = \frac{(a+c)b - (b+c)a}{b(b+c)} = \frac{cb - ac}{b(b+c)}
\]
- Bởi vì \( a > b \) và \( c > 0 \), nên \( cb - ac > 0 \) dẫn đến:
\[
\frac{a+c}{b+c} > \frac{a}{b}
\]

7. **Nếu có \( a < b, c > 0 \) thì \( \frac{a+c}{b+c} < \frac{a}{b} \):**
- Tương tự như trên, ta có:
\[
\frac{a+c}{b+c} - \frac{a}{b} < 0
\]

Từ các lý thuyết trên, ta đã chứng minh các điều cần thiết trong bài toán.