Để chứng minh rằng tứ giác \( MNPQ \) là hình thoi, ta sẽ chứng minh các cặp cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau và hai đường chéo vuông góc.

### Chứng minh \( MN = PQ \) và \( NP = MQ \)

1. **Xét các đoạn thẳng:**
- \( M, N, P, Q \) lần lượt là trung điểm của các đoạn \( BC, BF, EF, CE \).

2. **Công thức trung điểm:**
- Ta có:
\[
MN = \frac{1}{2} EF \quad \text{và} \quad PQ = \frac{1}{2} EF
\]
- Do đó, \( MN = PQ \).

3. **Tương tự với NP và MQ:**
- Xét đoạn \( NP \):
\[
NP = \frac{1}{2} BF \quad \text{và} \quad MQ = \frac{1}{2} BF
\]
- Vậy, \( NP = MQ \).

### Kết luận:

- Ta đã chứng minh được rằng:
\[
MN = PQ \quad \text{và} \quad NP = MQ
\]
- Do đó, \( MNPQ \) là hình thoi.

### Bài (b): Dựng đường phân giác \( AD \) của \( \angle BAC \) (với \( D \in BC \))

Để chứng minh \( AD \perp NQ \):

1. **Đoạn thẳng \( AD \) là đường phân giác, nên:**
- \( \frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC} \).

2. **Xét góc \( \angle BAD \):**
- Gọi góc \( \angle BAD \) và \( \angle DAC \) là hai góc đối diện theo đường phân giác.
- Ta có \( \angle BAD \) và \( \angle DAC \) sẽ có quan hệ với các góc tại \( N \) và \( Q \).

3. **Hệ quả hình học:**
- Theo tính chất của đường phân giác, ta biết rằng hai góc do đường phân giác chia ra sẽ tạo thành các góc tương ứng sẽ vuông góc với nhau.
- Do đó, \( AD \) sẽ vuông góc với \( NQ \).

### Kết luận:

Ta đã chứng minh được rằng \( AD \perp NQ \).